CDQ 总结

tip：
　　CDQ 分治主要处理三维偏序问题，解题时主要是找出比较量（三个或两个），并找出适当排序顺序（有时不需））。　　

　　CDQ 分治常常与树状数组搭配，树状数组主要用来统计前缀和（权值前缀和 / 排名）、最值、逆序对。

实战：

T1：陌上花开

题干：

　　有 n 朵花,每朵花有三个属性:花形 (s)、颜色 (c)、气味 (m),用三个整数表示。现在要对每朵花评级,一朵花的级别是它拥有的美丽能超过的花的数量。

　　定义一朵花 A 比另一朵花 B 要美丽,当且仅当 Sa>=Sb , Ca>=Cb , Ma>=Mb 。

　　显然,两朵花可能有同样的属性。需要统计出每个等级的花的数量。

题解：
　　比较明显就可以看出这是一道 CDQ 分治，三个比较量就是 S、C、M，排序顺序对这道题来说没有影响。

　　需要注意的是，我们可以发现有可能两朵花的属性完全一样，根据题意来看，这两朵花互相更美丽。。。

　　注意一下我们需要求出的是每个等级的花的数量，而不是每朵花的等级。

　　在统计答案时需要去重，将完全一样的花合成一朵，只是权值增加了；

　　当然，也可以不去重，只是我们需要找出 完全相同的花中答案最大的 作为这种花的等级。

　　我们可以将 S sort 一下，将 C 用 CDQ 分治解决，将 M 压进树状数组中来统计。

　　在统计答案时（通法），我们直接在结构体中建立一个 ans 变量。因为本题的结果与 ans 更新的顺序没有直接关系，能更新就更新即可。

Code：

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<cstdlib>
#include<algorithm>
#define $ 200010
using namespace std;
int m,n,k,t,ans[$*2],cnt,tr[$*2];
struct tree{
    int s,c,m,t,sum,ans;  
    friend bool operator != (tree x,tree y){
        if(x.s!=y.s) return 1;
        if(x.c!=y.c) return 1;
        if(x.m!=y.m) return 1;
        return 0;
    }  
    friend bool operator <  (tree x,tree y){
        if(x.s!=y.s) return x.s<y.s;
        if(x.c!=y.c) return x.c<y.c;
        return x.m<y.m;
    }
}a[$],pre[$],now[$];
inline void add(int x,int add){
    if(x==0) return;
    for(register int i=x;i<=k;i+=i&(-i)) tr[i]+=add; 
}
inline int ask(int x,int ans=0){
    for(register int i=x;i>=1;i-=i&(-i)) ans+=tr[i];
    return ans;
}
inline void CDQ(int l,int r){
    if(l==r) return;
    int mid=(l+r)>>1;
    CDQ(l,mid);  CDQ(mid+1,r);
    int left=l,right=mid+1,tip=0;
    while(left<=mid&&right<=r){
        if(a[left].c<=a[right].c)
            add(a[left].m,a[left].sum), now[++tip]=a[left++];
        else
            a[right].ans+=ask(a[right].m), now[++tip]=a[right++];
    }
    while(right<=r)
        a[right].ans+=ask(a[right].m), now[++tip]=a[right++];
    for(register int i=l;i<left;++i) add(a[i].m,0);
    while(left<=mid)  now[++tip]=a[left++];
    for(register int i=l;i<=r;++i)   a[i]=now[i-l+1];
}
signed main(){
    scanf("%d%d",&n,&k);
    for(register int i=1;i<=n;++i)
        scanf("%d%d%d",&pre[i].s,&pre[i].c,&pre[i].m);
    sort(pre+1,pre+n+1);
    for(register int i=1,sum=1;i<=n;++i,++sum)
        if(pre[i+1]!=pre[i]) a[++cnt]=pre[i], a[cnt].sum=sum, sum=0;
    CDQ(1,cnt);
    for(register int i=1;i<=cnt;++i) ans[a[i].ans+a[i].sum]+=a[i].sum;
    for(register int i=1;i<=n;++i)   printf("%d
",ans[i]);
}

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<cstdlib>
#include<algorithm>
#define $ 200010
using namespace std;
int m,n,k,t,ans[$*2],cnt,tr[$*2];
struct tree{
    int s,c,m,t,ans;  
    friend bool operator == (tree x,tree y){
        if(x.s!=y.s) return 0;
        if(x.c!=y.c) return 0;
        if(x.m!=y.m) return 0;
        return 1;
    }  
    friend bool operator <  (tree x,tree y){
        if(x.s!=y.s) return x.s<y.s;
        if(x.c!=y.c) return x.c<y.c;
        if(x.m!=y.m) return x.m<y.m;
        return x.ans<y.ans;
    }
}a[$],pre[$],now[$];
inline void add(int x,int add){
    if(x==0) return;
    for(register int i=x;i<=k;i+=i&(-i)) tr[i]+=add; 
}
inline int ask(int x,int ans=0){
    for(register int i=x;i>=1;i-=i&(-i)) ans+=tr[i];
    return ans;
}
inline void CDQ(int l,int r){
    if(l==r) return;
    int mid=(l+r)>>1;
    CDQ(l,mid);  CDQ(mid+1,r);
    int left=l,right=mid+1,tip=0;
    while(left<=mid&&right<=r){
        if(a[left].c<=a[right].c)
            add(a[left].m,1), now[++tip]=a[left++];
        else
            a[right].ans+=ask(a[right].m), now[++tip]=a[right++];
    }
    while(right<=r)
        a[right].ans+=ask(a[right].m), now[++tip]=a[right++];
    for(register int i=l;i<left;++i) add(a[i].m,0);
    while(left<=mid)  now[++tip]=a[left++];
    for(register int i=l;i<=r;++i)   a[i]=now[i-l+1];
}
signed main(){
    scanf("%d%d",&n,&k);
    for(register int i=1;i<=n;++i)
        scanf("%d%d%d",&a[i].s,&a[i].c,&a[i].m);
    sort(a+1,a+n+1);  CDQ(1,cnt);  sort(a+1,a+n+1);
    int tip=a[cnt].ans;
    for(register int i=cnt;i>=1;--i){
        if(a[i]==a[i-1]) ans[tip]++; 
        else tip=
    }
    for(register int i=1;i<=n;++i)   printf("%d
",ans[i]);
}

 

T2：Mokia / 简单题

题干：

　　维护一个 W * W 的矩阵，初始值均为 S .每次操作可以增加某格子的权值,或询问某子矩阵的总权值.修改操作数 M<=160000,询问数 Q<=10000 , W<=2000000.
　　第一行两个整数 , S , W ;其中 S 为矩阵初始值; W 为矩阵大小
　　接下来每行为一下三种输入之一(不包含引号):
　　"1 x y a"
　　"2 x1 y1 x2 y2"
　　"3"
　　输入 1 :你需要把 (x,y) (第 x 行第 y 列)的格子权值增加 a
　　输入 2 :你需要求出以左下角为 (x1,y1) ,右上角为 (x2,y2) 的矩阵内所有格子的权值和,并输出
　　输入 3 :表示输入结束

题解：

　　看到 w=2000000 ，数组模拟不优秀，空间、时间复杂度都不行。

　　我们可以发现，每种操作都与时间有关，结果的更新也与时间有关；同时操作又与坐标有关。发现这几个变量，我们就可以想到用 CDQ 分治。

　　但是‘2’操作有 4 个坐标，用哪两个呢？其实我们不难看出只有最外面的那个坐标起决定作用，因为修改操作只有在访问区域内才可能做贡献。

　　我们可以利用单步容斥的方法，将一个查询操作分成 4 个查询操作，时间戳一样，还是按照原来的排序顺序（t > x > y）排序即可。

　　我们发现， $ans$ 的结果与更新它的时间没有关系，我们完全可以将其作为一个二维偏序问题来解决。

Code：

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<cstdlib>
#include<algorithm>
#define $ 800010
using namespace std;
int m,n,k,t,s,w,cnt,ans[$],tr[$*3],x,y,xx,yy,derta,opt,num;
struct tree{
    int opt,x,y,val,t;
    friend bool operator < (tree x,tree y){
        if(x.x!=y.x) return x.x<y.x;
        if(x.y!=y.y) return x.y<y.y;
        return x.opt<y.opt;
    }
}a[$],now[$];
inline void add(int x,int add){
    if(x==0) return;
    if(add==0){
        for(register int i=x;i<=w;i+=i&(-i)) tr[i]=0;
        return;
    }
    for(register int i=x;i<=w;i+=i&(-i)) tr[i]+=add;
}
inline int ask(int x,int ans=0){
    for(register int i=x;i>=1;i-=i&(-i)) ans+=tr[i];
    return ans;
}
inline void CDQ(int l,int r){
    if(l==r) return ;
    int mid=(l+r)>>1,tip=0,left=l,right=mid+1;
    CDQ(l,mid);  CDQ(mid+1,r);
    while(left<=mid&&right<=r){
        if(a[left].x<=a[right].x){
            if(a[left].opt==0) add(a[left].y,a[left].val); 
            now[++tip]=a[left]; ++left; 
        }
        else{
            if(a[right].opt==1) 
                ans[a[right].t]+=ask(a[right].y)*a[right].val;
            now[++tip]=a[right]; ++right;
        }
    }
    while(left<=mid) now[++tip]=a[left], ++left;
    while(right<=r){
        if(a[right].opt) ans[a[right].t]+=ask(a[right].y)*a[right].val;
        now[++tip]=a[right]; ++right;
    }
    for(register int i=l;i<=mid;++i) add(a[i].y,0);
    for(register int i=l;i<=r;++i) a[i]=now[i-l+1];
}
signed main(){    
    scanf("%d%d",&s,&w);
    while(~scanf("%d",&opt)){
        if(opt==1){
            scanf("%d%d%d",&x,&y,&derta);
            a[++cnt]=(tree){    0,x,y,derta,0    };
        }
        if(opt==2){
            scanf("%d%d%d%d",&x,&y,&xx,&yy); ++num;
            ans[num]=(yy-y+1)*(xx-x+1)*s;
            a[++cnt]=(tree){    1,xx,yy,1,num    };
            a[++cnt]=(tree){    1,x-1,y-1,1,num    };
            a[++cnt]=(tree){    1,x-1,yy,-1,num    };
            a[++cnt]=(tree){    1,xx,y-1,-1,num    };
        }
        if(opt==3) break;
    }
    CDQ(1,cnt);
    for(register int i=1;i<=num;++i)  printf("%d
",ans[i]);
}

#include<cstdio>
#include<algorithm>
#include<cstring>
#include<cstdlib>
#define $ 2200000
#define int long long
using namespace std;
struct tree {    int t,x,y,opt,f,val;    }a[$],now[$];
int s,w,tot,opt,up,tr[$*8];
inline bool cmp(const tree &a,const tree &b){
    if(a.t!=b.t)  return a.t<b.t;
    if(a.x!=b.x)  return a.x<b.x;
    return a.y<b.y;
}
inline void add(int x,int add){
    if(add==0){
        for(register int i=x;i<=w;i+=i&(-i))  tr[i]=0;
        return;
    }
    for(register int i=x;i<=w;i+=i&(-i))  tr[i]+=add;
}
inline int query(int x,int ans=0){
    for(register int i=x;i>=1;i-=i&(-i))  ans+=tr[i];
    return ans;
}
inline void CDQ(int l,int r){
    if(l==r)return;
    int mid=(l+r)>>1,left=l,right=mid+1,tip=-1;
    CDQ(l,mid),CDQ(mid+1,r);
    while(left<=mid&&right<=r){
        if(a[left].x<=a[right].x){
            if(!a[left].opt) add(a[left].y,a[left].val);
            now[++tip]=a[left++];
        }else{
            if(a[right].opt) a[right].f+=query(a[right].y);
            now[++tip]=a[right++];
        }
    }
    while(right<=r){
        if(a[right].opt) a[right].f+=query(a[right].y);
        now[++tip]=a[right++];
    }
    for(register int i=l;i<left;++i) add(a[i].y,0);
    while(left<=mid)  now[++tip]=a[left++];
    for(register int i=l;i<=r;++i)   a[i]=now[i-l];
}
signed main(){
    scanf("%lld%lld",&s,&w); ++w;
    for(register int i=1,x,y,z,xx,yy;;++i){
        scanf("%lld",&opt);
        if(opt==1){
            scanf("%lld%lld%lld",&x,&y,&z);
            a[++tot]=(tree){i,x+1,y+1,0,0,z};
        }
        if(opt==2){
            scanf("%lld%lld%lld%lld",&x,&y,&xx,&yy);
            a[++tot]=(tree){    i,xx+1,yy+1,1,0,0    };
            a[++tot]=(tree){    i,x,yy+1,-1,0,0    };
            a[++tot]=(tree){    i,xx+1,y,-1,0,0    };
            a[++tot]=(tree){    i,x,y,1,0,0    };
        }
        if(opt==3) break;
    }
    sort(a+1,a+1+tot,cmp);  CDQ(1,tot);
    sort(a+1,a+1+tot,cmp);
    for(register int i=1;i<=tot;i+=4){
        if(!a[i].opt) continue;
        int ans=0;
        for(register int j=1;j<=4;++j)
            ans+=a[i+j-1].opt*(a[i+j-1].f+a[i+j-1].x*a[i+j-1].y*s);
        printf("%lld
",ans);
    }
}

T3：天使玩偶

题干：

题解：

　　注意曼哈顿距离是有绝对值的，我们不可以简单地将 $x+y$ 压入树状数组来比较，只有这个点在目标节点的左下方才可以进行比较。

　　我们就可以进行 4 次 CDQ，每次都变换一下每个点的坐标，就相当于是转动了坐标系，分 4 次将答案更新完成。

　　我们又可以发现，更新答案与时间无相互限制，可以不保证 t 的单调。

Code：

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<cstdlib>
#include<algorithm>
#define $ 1001000
#define inf 0x3f3f3f3
#define getchar() (xS==xT&&(xT=(xS=xB)+fread(xB,1,1<<15,stdin),xS==xT)?0:*xS++)
using namespace std;
int m,n,k,t,cnt,num,ans[$],tr[$*2],maxx;
struct tree{    int opt,x,y;    }a[$],now[$],pre[$];
char xB[(1<<15)+10],*xS=xB,*xT=xB;
inline int read(int sum=0){
    register char ch=getchar();
    for(sum=0;ch<'0'||ch>'9';ch=getchar());
    for(;ch>='0'&&ch<='9';sum=(sum<<1)+(sum<<3)+ch-'0',ch=getchar());
    return sum;
}
inline int min(int x,int y){    return x<y?x:y;    }
inline int max(int x,int y){    return x>y?x:y;    }
inline void add(int x,int add){
    if(x==0) return;
    if(add==-inf){
        for(register int i=x;i<=maxx;i+=i&(-i)) tr[i]=0;
        return;
    }
    for(register int i=x;i<=maxx;i+=i&(-i)) tr[i]=max(tr[i],add);
}
inline int ask(int x,int ans=0){
    for(register int i=x;i>=1;i-=i&(-i)) ans=max(ans,tr[i]);
    return (ans==0)?-inf:ans;
} 
inline void CDQ(int l,int r){
    if(l==r) return;
    int mid=(l+r)>>1,left=l,right=mid+1,tip=0;
    CDQ(l,mid);   CDQ(mid+1,r);
    while(left<=mid&&right<=r){
        if(a[left].x<=a[right].x){
            if(!a[left].opt)  add(a[left].y,a[left].x+a[left].y);
            now[++tip]=a[left]; ++left;
        }
        else{
            if(a[right].opt) 
                ans[a[right].opt]=min(ans[a[right].opt],a[right].x+a[right].y-ask(a[right].y));
            now[++tip]=a[right]; ++right;
        }
    }
    while(right<=r){
        if(a[right].opt)     
            ans[a[right].opt]=min(ans[a[right].opt],a[right].x+a[right].y-ask(a[right].y));
        now[++tip]=a[right], ++right;
    }
    for(register int i=l;i<left;++i) add(a[i].y,-inf);
    while(left<=mid) now[++tip]=a[left], ++left;
    for(register int i=l;i<=r;++i)   a[i]=now[i-l+1];
}
signed main(){
    memset(ans,63,sizeof(ans));
    scanf("%d%d",&n,&m);
    for(register int i=1,x,y;i<=n;++i){
        x=read(), y=read();
        pre[++cnt]=(tree){    0,x+1,y+1    };
        maxx=max(maxx,x+y);
    }
    for(register int i=1,x,y,opt;i<=m;++i){
        opt=read(), x=read(), y=read();
        if(opt==2) opt=++num;
        else opt=0;
        pre[++cnt]=(tree){    opt,x+1,y+1    };
        maxx=max(maxx,x+y);
    } 
    maxx+=100;
    for(register int i=1;i<=cnt;++i) a[i]=(tree){    pre[i].opt,pre[i].x,pre[i].y    };
    CDQ(1,cnt);
    for(register int i=1;i<=cnt;++i) a[i]=(tree){    pre[i].opt,maxx-pre[i].x,pre[i].y    };
    CDQ(1,cnt); 
    for(register int i=1;i<=cnt;++i) a[i]=(tree){    pre[i].opt,pre[i].x,maxx-pre[i].y    };
    CDQ(1,cnt); 
    for(register int i=1;i<=cnt;++i) a[i]=(tree){    pre[i].opt,maxx-pre[i].x,maxx-pre[i].y    };
    CDQ(1,cnt); 
    for(register int i=1;i<=num;++i) printf("%d
",ans[i]);
}

T4：动态逆序对

题干：

　　对于序列 A ，它的逆序对数定义为满足 i A j 的数对 (i,j) 的个数。给 1 到 n 的一个排列，按照某种顺序依次删除 m 个元素，你的任务是在每次删除一个元素之前统计整个序列的逆序对数。

题解：

　　‘按照顺序删除一个数’可以转化为‘按照顺序添加一个数’；相应地，‘删除元素之前统计’就是‘添加元素之后统计’，这就符合我们平时做题时的按序添加的 CDQ 分治问题。

　　发现时间与答案统计有关，我们就还是三维排序即可。

Code：

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#define $ 600100
#define int long long
using namespace std;
int m,n,k,t,cnt,mrk[$],ans[$/2],maxx,tr[$*10];
struct tree{
    int t,id,w,ans;
    friend bool operator < (tree x,tree y){
        if(x.t!=y.t)   return x.t<y.t;
        if(x.id!=y.id) return x.id<y.id;
        return x.w<y.w;
    }
}a[$],now[$],pre[$];
inline int max(int x,int y){    return x>y?x:y;    }
inline void add(int x,int add){
    if(x==0) return ;
    for(register int i=x;i<=maxx;i+=i&(-i)) tr[i]+=add;
}
inline int ask(int x,int ans=0){
    for(register int i=x;i>=1;i-=i&(-i)) ans+=tr[i];
    return ans;
}
inline void CDQ(int l,int r){
    if(l==r) return;
    int mid=(l+r)>>1,left=l,right=mid+1,tip=-1;
    CDQ(l,mid);  CDQ(mid+1,r);
    while(left<=mid&&right<=r){
        if(a[left].id<a[right].id)
            add(a[left].w,1), now[++tip]=a[left++];
        else
            ans[a[right].t]+=ask(a[right].w), now[++tip]=a[right++];
    }
    while(right<=r)
        ans[a[right].t]+=ask(a[right].w), now[++tip]=a[right++];
    for(register int i=l;i<left;++i) add(a[i].w,-1);
    while(left<=mid) now[++tip]=a[left++];
    for(register int i=l;i<=r;++i) a[i]=now[i-l];
}
signed main(){
    scanf("%lld%lld",&n,&m);  cnt=m;
    for(register int i=1;i<=n;++i)
        scanf("%lld",&a[i].w), a[i].id=i, maxx=max(maxx,a[i].w);
    for(register int i=1,x;i<=m;++i) scanf("%lld",&x), mrk[x]=i;
    for(register int i=1;i<=n;++i) if(mrk[i]==0) mrk[i]=++cnt;
    for(register int i=1;i<=n;++i) a[i].t=n-mrk[a[i].w]+1;
    for(register int i=1;i<=n;++i) a[i].w=maxx-a[i].w+1;
    sort(a+1,a+n+1); CDQ(1,n);
    for(register int i=1;i<=n;++i) a[i].w=maxx-a[i].w+1, a[i].id=n-a[i].id+1;
    sort(a+1,a+n+1); CDQ(1,n);
    for(register int i=1;i<=n;++i) ans[i]+=ans[i-1];
    for(register int i=n;i>=n-m+1;--i) printf("%lld
",ans[i]);
}