计蒜客 动态规划基础 蒜头跳木桩

题目：

蒜头君面前有一排 n 个木桩，木桩的高度分别是h₁,h₂,h₃⋯h_n​​。蒜头第一步可以跳到任意一个木桩，接下来的每一步蒜头不能往回跳只能往前跳，并且跳下一个木桩的高度 不大于 当前木桩。蒜头君希望能踩到尽量多的木桩，请你帮蒜头计算，最多能踩到多少个木桩。
输入格式

第一行输入一个整数 n 代表木桩个数。第二行输入 n 个整数h₁,h₂,h₃⋯h_n，分别代表 n 个木桩的高度。(1≤n≤1000,1≤h_i≤100000)

输出格式

输出一个整数，代表最多能踩到的木桩个数，占一行。

样例输入

6
3 6 4 1 4 2

样例输出

4

思路

不难发现，这时一道 LIS （最长上升子序列）的题目。（当然，这里是最长不上升子序列，其实是一回事。）

O(n²) 复杂度的算法并不能满足全部的数据，所以使用 O(nlogn) 的算法。

O(nlogn) 算法的思路就是储存一个对应 dp 值的最小值，它们一定是升序的。例如标程中将其储存于 ans 数组中，这样，下次有新的最小数出现的时候，利用二分就可以最快找到放入的位置。程序中，变量 pos 是放入 a[i] 的位置，变量 len 就是最长的长度，即为答案。

 

标程

#include <iostream>
#include <cstdlib>
#include <cstdio>
#include <algorithm>
#include <cstring>
using namespace std;
int n,a[1000+5],dp[1000+5],ans[1000+5],len;
int binarySearch(int arr[], int first, int end, int tar)
{
    while (end > first)
    {
        int mid = (first+end)/2;
        if (arr[mid]<tar)
        {
            end = mid;
        }
        else
        {
            first = mid+1;
        }
    }
    return end;
}
int main()
{
    cin >> n;
    for (int i=1; i<=n; i++)
    {
        cin >> a[i];
    }
    ans[1] = a[1];
    len = 1;
    for (int i=2; i<=n; i++)
        if (a[i] <= ans[len])
            ans[++len] = a[i];
        else
        {
            int pos = binarySearch(ans,1,len,a[i]);
            ans[pos] = a[i];
        }
    cout << len << endl;
    return 0;
}