[bzoj 2393] Cirno的完美算数教室 (容斥原理+dfs剪枝)

题目描述

$Cirno$发现了一种$baka$数，这种数呢只含有$2$和$9$两种数字
现在$Cirno$想知道$[L,R]$中有多少个数能被$baka$数整除
$1<L<R<10^{10}$

题目分析

由于$R<10^{10}$，最大只有10位的数可以对答案造成贡献，每一位只能为2/9，所以最多有2000多个数，再加上把是之前的数的倍数的除去，最后只有900多个。考虑容斥，用被1个整除的-被2个整除的+被3个整除的…
由于此时间复杂度是$2^{900}$，所以在dfs时剪枝就行，判断当前lcm是否大于R，同时注意lcm可能爆Longlong，还要判断小于0，否则跑不出$[1,10^{10}]$这组数据（虽然也能过且$R<10^{10}$）

考试时想到过此做法,以为剪枝效率不高过不了,就写了大暴力去写T3了…最后只有20pts

AC code

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define LL long long
LL L, R, Ans, num[2500], tot;
bool used[2500];

void init()
{
	int Len = int(log10(R))+1;
	for(int i = 1; i <= Len; ++i)
		for(int j = 0; j < (1<<i); ++j)
		{
			LL now = 1; num[++tot] = 0;
			for(int k = 0; k < i; ++k)
				num[tot] += ((j&(1<<k)) ? 9 : 2) * now, now *= 10;
			if(num[tot] > R) { tot--; continue; }
			for(int k = 1; k < tot; ++k)
				if(num[tot] % num[k] == 0)
				{ tot--; break; }
		}
}

inline LL gcd(LL a, LL b) { return b ? gcd(b, a%b) : a; }

inline void dfs(int now, int cf, LL tmp) //当前数的编号,容斥系数,当前lcm
{
	if(tmp > R || tmp <= 0) return;
	if(now > tot)
	{
		if(tmp == 1) return;
		Ans += cf * (R/tmp - L/tmp);
		return;
	}
	dfs(now+1, cf, tmp);
	dfs(now+1, -cf, tmp/gcd(tmp,num[now])*num[now]);
}

int main ()
{
	scanf("%lld%lld", &L, &R), --L, init(), dfs(1, -1, 1);
	printf("%lld
", Ans);
}