一、前言
这是第三遍讲？明明是第一遍学！
为了不让博客过于冗长，部分证明已被省略，详见 ( exttt{PPT})
二、讲解
1.莫比乌斯函数
(1).定义
我们莫比乌斯函数为 (mu(n)(nin N^*)) ，定义如下：
① (mu(1)=1)
② 如果(n=prod_{i=1}^kp_i) 且(p_i)互不相同，则 (mu(n)=(-1)^k)
③ 其他情况下 (mu(n)=0)
(2).性质
①
对于任意正整数 (n) 有：
[sum_{d|n}mu(d)=egin{cases}
1 (n=1)\
0 (n>1)
end{cases}]
② 一个关系式
[sum_{d|n}dfrac{mu(d)}{d}=dfrac{phi(n)}{n}
]
( exttt{Hint}) : 考虑移项 (n) 证明
③ 积性函数
(3).线性筛代码
int mu[MAXN],prime[MAXN],pn;
bool vis[MAXN];
void sieve(int x)
{
smu[1] = mu[1] = 1;
for(int i = 2;i <= x;++ i)
{
if(!vis[i]) prime[++pn] = i,mu[i] = -1;
for(int j = 1;j <= pn && i * prime[j] <= x;++ j)
{
vis[i * prime[j]] = 1;
if(i % prime[j] == 0) break;
mu[i * prime[j]] = -mu[i];
}
}
}
2.莫比乌斯反演
其实就是一个公式的变形：
[F(n)=sum_{d|n}f(d)
]
[Rightarrow f(n)=sum_{d|n}mu(d)F(dfrac{n}{d})
]
三、练习
2.YY的GCD(洛谷) 题解