[HDU4035] Maze

前言

如果没有提示的话，应该很难吧，即使有了提示我也觉得这是个妙妙题。

接下来是超详细讲解，面对长长的式子，请耐心看完，一定会有收获的！

题目

HDU

VJudge

题目大意：

(T) 组数据。

初始时勇敢牛牛在一个 (n) 个点的树的 (1) 号节点上，如果勇敢牛牛在节点 (i)，则：

• 有 (K_i) 的概率被击杀，然后返回 (1) 号节点；
• 有 (E_i) 的概率直接找到出口逃出；
• 等概率地在节点 (i) 的所有边中选择一条走。

询问逃出生天的期望走的边数，如果无法逃出生天，输出 ( t impossible)。

注意：输入给的 (K_i) 与 (E_i) 为百分数，并且保证为整数，且 (E_1=K_1=0)。

(1le Tle 3; 1le n le 10^5; 0le K_i,E_ile100; K_i+E_ile100.)

讲解

由于期望 (E) 和题目中的概率 (E_i) 重复了，所以我们把 (E_i,K_i) 变为 (es_i,ki_i(escape & kill))，而且这样和代码中的定义相同。

如果没看到数据范围，你可能会天真地想高斯消元，可现实是残酷的，但你也得勇敢面对。

勇敢牛牛，不怕困难！我们以 (1) 为根，直接把式子列出来树形DP！

设 (E_i) 表示从 (i) 为起点逃生的期望边数，(deg_i) 为 (i) 节点的度数，(fa_i) 为 (i) 节点的父亲，则有：

[E_i=ki_i imes E_1+es_i imes 0+frac{(1-ki_i-es_i)}{deg_i} imes(E_{fa_i}+1+sum (E_{son}+1)) ]

可以发现，最难处理的是 (E_{fa_i})，如果它可以丢掉或者转换成其它形式，那么问题就迎刃而解了。

我们可以将 (E_{fa_i}) 丢给 (fa_i) 自己处理！我们将转移的东西分一下类，然后重新写一下 (E_i) 的表达式：

[egin{aligned} E_i&=ki_i imes E_1+frac{(1-ki_i-es_i)}{deg_i} imes(E_{fa_i}+1+sum (E_{son}+1))\ &=ki_i imes E_1+frac{(1-ki_i-es_i)}{deg_i} imes E_{fa_i}+frac{(1-ki_i-es_i)}{deg_i} imes(sum E_{son}+deg_x)\ &=ki_i imes E_1+frac{(1-ki_i-es_i)}{deg_i} imes E_{fa_i}+frac{(1-ki_i-es_i)}{deg_i} imessum E_{son}+(1-ki_i-es_i)\ end{aligned} ]

我们将 (E_1) 的系数叫做 (A_i)，(E_{fa_i}) 的系数叫做 (B_i)，常数项叫做 (C_i)，有：

[egin{aligned} &E_i=A_i imes E_1+B_i imes E_{fa_i}+C_i\ &A_i=ki_i\ &B_i=frac{(1-ki_i-es_i)}{deg_i}\ &C_i=frac{(1-ki_i-es_i)}{deg_i} imessum E_{son}+(1-ki_i-es_i)\ end{aligned} ]

然后我们将 (E_{son}) 拆开看看会发生什么：

[egin{aligned} E_i&=A_i imes E_1+B_i imes E_{fa_i}+C_i\ &=A_i imes E_1+B_i imes E_{fa_i}+(1-ki_i-es_i)\ & +frac{(1-ki_i-es_i)}{deg_i} imessum (A_{son} imes E_1+B_{son} imes{E_i}+C_{son})\ (1-frac{(1-ki_i-es_i)}{deg_i}sum B_{son})E_i&=(A_i+frac{(1-ki_i-es_i)}{deg_i}sum A_{son}) imes E_1+B_i imes E_{fa_i}\ & +frac{(1-ki_i-es_i)}{deg_i}sum C_{son}+(1-ki_i-es_i)\ end{aligned} ]

式子已经长得一行需要分行写了，我们令 (cao=1-ki_i-es_i,woc=frac{(1-ki_i-es_i)}{deg_i})，有：

[egin{aligned} (1-wocsum B_{son})E_i&=(A_i+wocsum A_{son}) imes E_1+B_i imes E_{fa_i}+wocsum C_{son}+cao\ E_i&=frac{A_i+wocsum A_{son}}{1-wocsum B_{son}} imes E_1+frac{B_i}{1-wocsum B_{son}} imes E_{fa_i}+frac{wocsum C_{son}+cao}{1-wocsum B_{son}}\ end{aligned} ]

至此，转移已经全部完毕。

对于 (E_1=A_1 imes E_1+B_1 imes E_{fa_1}+C_1(E_{fa_1}=0))，易得 (E_1=frac{C_1}{1-A_1})。

如果 (A_1) 趋近于 (1) 则永远被困，否则输出答案即可。

代码

注意多组清空。

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//12252024832524
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <algorithm>
#define TT template<typename T>
using namespace std; 

typedef long long LL;
const int MAXN = 100005;
const double eps = 1e-10;
int n,cas,deg[MAXN];
double ki[MAXN],es[MAXN],A[MAXN],B[MAXN],C[MAXN];

LL Read()
{
	LL x = 0,f = 1;char c = getchar();
	while(c > '9' || c < '0'){if(c == '-')f = -1;c = getchar();}
	while(c >= '0' && c <= '9'){x = (x*10) + (c^48);c = getchar();}
	return x * f;
}
TT void Put1(T x)
{
	if(x > 9) Put1(x/10);
	putchar(x%10^48);
}
TT void Put(T x,char c = -1)
{
	if(x < 0) putchar('-'),x = -x;
	Put1(x); if(c >= 0) putchar(c);
}
TT T Max(T x,T y){return x > y ? x : y;}
TT T Min(T x,T y){return x < y ? x : y;}
TT T Abs(T x){return x < 0 ? -x : x;}

int head[MAXN],tot;
struct edge
{
	int v,nxt;
}e[MAXN << 1];
void Add_Edge(int x,int y)
{
	e[++tot].v = y;
	e[tot].nxt = head[x];
	head[x] = tot;
	deg[x]++;
}
void Add_Double_Edge(int x,int y)
{
	Add_Edge(x,y);
	Add_Edge(y,x);
}
void dfs(int x,int fa)
{
	double cao = 1-ki[x]-es[x],cs = 1,woc = (1-ki[x]-es[x])/deg[x];
	A[x] = ki[x]; B[x] = woc; C[x] = cao;
	for(int i = head[x],v; i ;i = e[i].nxt)
	{
		v = e[i].v;
		if(v == fa) continue;
		dfs(v,x);
		A[x] += woc*A[v];
		C[x] += woc*C[v];
		cs -= woc*B[v];
	}
	A[x] /= cs; B[x] /= cs; C[x] /= cs;
}

int main()
{
//	freopen(".in","r",stdin);
//	freopen(".out","w",stdout);
	for(int T = Read(); T ;-- T)
	{
		n = Read(); tot = 0;
		for(int i = 1;i <= n;++ i) deg[i] = head[i] = 0,A[i] = B[i] = C[i] = 0;
		for(int i = 1;i < n;++ i) Add_Double_Edge(Read(),Read());
		for(int i = 1;i <= n;++ i) ki[i] = Read() / 100.0,es[i] = Read() / 100.0;
		printf("Case %d: ",++cas);
		dfs(1,0);
		if(Abs(1-A[1]) < eps) printf("impossible
");
		else printf("%.6f
",C[1] / (1-A[1]));
	}
	return 0;
}

后记

以后转移互相包含可以试着分类处理，实在搞不定给下一个状态接着搞。

希望没人看出来不文明用语。