做法1
以$K$为块大小分块，并对每一个块再维护一个排序后的结果，预处理复杂度为$o(nlog K )$
区间修改时将整块打上标记，散块暴力修改并归并排序，单次复杂度为$o(frac{n}{K}+K)$
区间查询时在整块中二分，散块暴力枚举，单次复杂度为$o(frac{n}{K}log K+K)$
显然取块大小为$K=sqrt{nlog n}$时最优，单次复杂度均为$o(nsqrt{nlog n})$
时间复杂度为$o(nlog n)-o(sqrt{nlog n})$
做法2
瓶颈显然在于整块的二分，考虑对其批量处理
具体的，对于整块的询问先记录在该块上而不执行，在当一个块要被作为散块暴力修改时再处理之前记录的所有操作（标记可以先减去，注意到该块的序列在这次修改前不会变化）
将这些询问基数排序（当底数较大时可以认为是线性的），再利用单调性进行查询，即做到了这样的查询均摊线性（注意$o(K)$的复杂度暴力修改本来就有），那么取$K=sqrt{n}$即可
时间复杂度为$o(nlog n)-o(sqrt{n})$
做法3
实际上是在$frac{n}{K}$个长为$K$的序列中二分，那么即可使用类似[luogu6466]分散层叠算法的做法
具体的，再选择一个阈值$B$，并将连续$B$个块称为一组，对每一组仅考虑每一个块中（排序后）下标是$B$的倍数的位置，即构成$B$个长度为$frac{K}{B}$的序列，对其使用做法4维护
预处理的复杂度即为$o(frac{n}{BK}cdot K)=o(frac{n}{B})$（当然还有$o(nlog n)$的排序复杂度）
区间修改时将整组和整块打上标记，散组和散块都暴力修改，单次复杂度为$o(frac{n}{K}+K)$
区间查询时，将位置分为以下三类：
1.对整组直接查询，至多$o(frac{n}{BK})$组，每组的复杂度为$o(Blog B+log BK)$（可以$o(B+log BK)$找到每一个块中第一个下标是$B$的倍数且大于等于$x^{2}$的数，再向前$B$个位置二分即可）
2.对散组的整块二分查询，至多$o(B)$个块，每块的复杂度为$o(log K)$
3.对散组的散块暴力查询，至多$o(K)$个位置，复杂度也为$o(K)$
综上，单次复杂度为$o(K+frac{n}{K}log B+frac{n}{BK}log BK)$，显然取$K=sqrt{nlog log n},B=log n$最优
时间复杂度为$o(nlog n)-o(sqrt{nloglog n})$
做法4
同样使用[luogu6466]分散层叠算法的做法，但考虑做法4沿用做法3的部分
具体的，直接对$frac{n}{K}$个块建立一个分治结构（也即线段树），并且以$frac{1}{3}$的比例取元素（即合并时仅取下标是3的倍数的位置上的元素），此时序列长度和即为$o(n)$（当然取偶数位置也是$o(n)$的）
区间修改时对整块打上标记（即线段树），并对散块暴力修改后重新维护，注意到一个叶子节点到根路径上的序列长度依次为$K,frac{2}{3}K,frac{4}{9}K,...$，那么总和即为$o(K)$，也即单次复杂度为$o(log frac{n}{K}+K)$
区间查询时对整块直接在该结构上查询，只需要在根上二分一次并递归，注意到一共只有$o(frac{n}{K})$个节点，因此这部分的复杂度为$o(log K+frac{n}{K})$，散块暴力复杂度仍为$o(K)$
综上，单次复杂度为$o(K+frac{n}{K})$，显然取$K=sqrt{n}$最优
时间复杂度为$o(nlog n)-o(sqrt{n})$
1 #include<bits/stdc++.h> 2 using namespace std; 3 #define N 50005 4 #define K 300 5 #define D 3 6 #define ll long long 7 #define L (k<<1) 8 #define R (L+1) 9 #define mid (l+r>>1) 10 int n,k,p,l,r,x,ans,num[11],id[N],bl[N],st[K],ed[K],Pos[2],pos[K<<2][K][2]; 11 ll a[N],tag[K<<2],b[K<<2][K]; 12 int read(){ 13 int x=0,flag=0; 14 char c=getchar(); 15 while ((c<'0')||(c>'9')){ 16 if (c=='-')flag=1; 17 c=getchar(); 18 } 19 while ((c>='0')&&(c<='9')){ 20 x=x*10+(c-'0'); 21 c=getchar(); 22 } 23 if (flag)x=-x; 24 return x; 25 } 26 void write(int x,char c=' '){ 27 while (x){ 28 num[++num[0]]=x%10; 29 x/=10; 30 } 31 if (!num[0])putchar('0'); 32 while (num[0])putchar(num[num[0]--]+'0'); 33 putchar(c); 34 } 35 bool cmp(int x,int y){ 36 return a[x]<a[y]; 37 } 38 void upd(int k,int l,int r,int x){ 39 vector<int>v0,v1; 40 for(int i=l;i<=r;i++)a[i]+=x; 41 for(int i=st[k];i<=ed[k];i++) 42 if ((l<=id[i])&&(id[i]<=r))v0.push_back(id[i]); 43 else v1.push_back(id[i]); 44 for(int i=st[k],x=0,y=0;i<=ed[k];i++){ 45 if ((x<v0.size())&&((y==v1.size())||(cmp(v0[x],v1[y]))))id[i]=v0[x++]; 46 else id[i]=v1[y++]; 47 } 48 } 49 void get(int k,int x){ 50 b[k][0]=0; 51 for(int i=st[x];i<=ed[x];i++)b[k][++b[k][0]]=a[id[i]]; 52 } 53 void up(int k){ 54 b[k][0]=0; 55 int x=1,y=1; 56 while ((x<=b[L][0])||(y<=b[R][0])){ 57 if ((x<=b[L][0])&&((y>b[R][0])||(b[L][x]+tag[L]<b[R][y]+tag[R]))){ 58 b[k][++b[k][0]]=b[L][x]+tag[L]; 59 pos[k][b[k][0]][0]=x; 60 pos[k][b[k][0]][1]=0; 61 x+=D; 62 } 63 else{ 64 b[k][++b[k][0]]=b[R][y]+tag[R]; 65 pos[k][b[k][0]][0]=0; 66 pos[k][b[k][0]][1]=y; 67 y+=D; 68 } 69 } 70 memset(Pos,0,sizeof(Pos)); 71 for(int i=1;i<=b[k][0];i++) 72 for(int p=0;p<2;p++){ 73 if (pos[k][i][p])Pos[p]=pos[k][i][p]; 74 pos[k][i][p]=Pos[p]; 75 } 76 } 77 void build(int k,int l,int r){ 78 if (l==r){ 79 get(k,l); 80 return; 81 } 82 build(L,l,mid); 83 build(R,mid+1,r); 84 up(k); 85 } 86 void update_point(int k,int l,int r,int x){ 87 if (l==r){ 88 get(k,x); 89 return; 90 } 91 if (x<=mid)update_point(L,l,mid,x); 92 else update_point(R,mid+1,r,x); 93 up(k); 94 } 95 void update_seg(int k,int l,int r,int x,int y,int z){ 96 if ((l>y)||(x>r))return; 97 if ((x<=l)&&(r<=y)){ 98 tag[k]+=z; 99 return; 100 } 101 update_seg(L,l,mid,x,y,z); 102 update_seg(R,mid+1,r,x,y,z); 103 up(k); 104 } 105 ll query_tag(int k,int l,int r,int x){ 106 if (l==r)return tag[k]; 107 if (x<=mid)return query_tag(L,l,mid,x)+tag[k]; 108 return query_tag(R,mid+1,r,x)+tag[k]; 109 } 110 int query_seg(int k,int l,int r,int x,int y,int z,ll w){ 111 if ((l>y)||(x>r)||(!z))return 0; 112 if (l==r)return z; 113 int zl=pos[k][z][0],zr=pos[k][z][1]; 114 while ((zl<b[L][0])&&(b[L][zl+1]+tag[L]<w))zl++; 115 while ((zr<b[R][0])&&(b[R][zr+1]+tag[R]<w))zr++; 116 return query_seg(L,l,mid,x,y,zl,w-tag[L])+query_seg(R,mid+1,r,x,y,zr,w-tag[R]); 117 } 118 int query(int l,int r,ll x){ 119 int y=upper_bound(b[1]+1,b[1]+b[1][0]+1,x)-b[1]-1; 120 return query_seg(1,1,bl[n],l,r,y,x); 121 } 122 int main(){ 123 n=read(),k=(int)sqrt(n); 124 for(int i=1;i<=n;i++)a[i]=read(); 125 for(int i=1;i<=n;i++){ 126 id[i]=i; 127 bl[i]=(i-1)/k+1; 128 if (!st[bl[i]])st[bl[i]]=i; 129 ed[bl[i]]=i; 130 } 131 for(int i=1;i<=bl[n];i++)sort(id+st[i],id+ed[i]+1,cmp); 132 build(1,1,bl[n]); 133 for(int i=1;i<=n;i++){ 134 p=read(),l=read(),r=read(),x=read(); 135 if (!p){ 136 if (bl[l]==bl[r]){ 137 upd(bl[l],l,r,x); 138 update_point(1,1,bl[n],bl[l]); 139 } 140 else{ 141 update_seg(1,1,bl[n],bl[l]+1,bl[r]-1,x); 142 upd(bl[l],l,ed[bl[l]],x); 143 update_point(1,1,bl[n],bl[l]); 144 upd(bl[r],st[bl[r]],r,x); 145 update_point(1,1,bl[n],bl[r]); 146 } 147 } 148 else{ 149 ans=0; 150 if (bl[l]==bl[r]){ 151 ll z=(ll)x*x-query_tag(1,1,bl[n],bl[l]); 152 for(int j=l;j<=r;j++) 153 if (a[j]<z)ans++; 154 } 155 else{ 156 ans=query(bl[l]+1,bl[r]-1,(ll)x*x); 157 ll z=(ll)x*x-query_tag(1,1,bl[n],bl[l]); 158 for(int j=l;j<=ed[bl[l]];j++) 159 if (a[j]<z)ans++; 160 z=(ll)x*x-query_tag(1,1,bl[n],bl[r]); 161 for(int j=st[bl[r]];j<=r;j++) 162 if (a[j]<z)ans++; 163 } 164 write(ans,' '); 165 } 166 } 167 return 0; 168 }