[atAGC043B]123 Triangle

不妨先操作一轮，使得$0le a_{i}le 2$

结论：若序列中存在1，则答案为0或1

考虑归纳，注意到若序列中存在1，除非所有元素均为1，否则操作一轮后必然仍存在1，那么根据归纳假设即成立，而当所有元素均为1时，显然答案一定为0或1（序列长度已经为1），同样成立

由此，实际上只需要通过奇偶性即可确定答案，而注意到$|x-y|equiv x+y(mod 2)$，因此不妨将转移的式子变为$a'_{i}=a_{i}+a_{i+1}$（模2意义下）

简单计数，不难发现$a_{i}$对答案的贡献即${n-1choose i-1}a_{i}$，求出其模2的值并相加即可

另外，如果序列中不存在1，分类讨论：

1.若序列中不存在2，显然答案即为0

2.若序列中存在2，不妨将所有$a_{i}$除以2后求出答案，再将答案乘上2即可

时间复杂度为$o(n)$，可以通过

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define N 1000005
int n,a[N];
char s[N];
int C(int n,int m){
    return (n&m)==m;
}
int calc(){
    int ans=0;
    for(int i=1;i<=n;i++)
        if (a[i]&1)ans^=C(n-1,i-1);
    return ans;
}
int main(){
    scanf("%d%s",&n,s+1);
    n--;
    for(int i=1;i<=n;i++)a[i]=abs((int)s[i]-(int)s[i+1]);
    bool flag=0;
    for(int i=1;i<=n;i++)
        if (a[i]==1)flag=1;
    if (flag)printf("%d
",calc());
    else{
        flag=0;
        for(int i=1;i<=n;i++)
            if (a[i]==2)flag=1;
        if (!flag)printf("0
");
        else{
            for(int i=1;i<=n;i++)a[i]>>=1;
            printf("%d
",(calc()<<1));
        }
    }
    return 0;
}