为了方便，不妨假设$a_{i}\le b_{i}$，并将问题转换为以下形式：
$\forall 1\le i\le m$，将$[a_{i},b_{i})$或$[1,a_{i})\cup [b_{i},n]$覆盖共$c_{i}$次，最小化覆盖次数最多的位置
考虑先全部覆盖$[a_{i},b_{i})$，再将若干个区间反转来调整，并且要求最终反转的方案（在取到最小值的基础上）反转的区间个数最少，下面来分析此方案的性质——
记初始第$i$个位置被覆盖$s_{i}$次，反转后第$i$个位置被覆盖$t_{i}$次
性质1：反转的区间两两有交
若存在两个反转的区间不交，撤销反转这两个区间，显然最小值不降且个数减小
由此，记反转的区间交为$[x,y]$，$[x,y]$中$t_{i}$的最大值为$t_{k}$
引理：$\forall i\in [x,y],s_{i}-t_{i}=s_{k}-t_{k}$；$\forall i\not\in [x,y],s_{i}-t_{i}\le s_{k}-t_{k}-2$
注意到$s_{i}-t_{i}$仅取决于$i$被多少个反转的区间覆盖，且每少一个区间值会减小2
另外，由前者显然可得$s_{k}=\max_{x\le i\le y}s_{i}$，以下不再叙述
性质2：$t_{k}\ge \max_{1\le i\le n}t_{i}-1$
若不成立，撤销反转一个$l=x$的区间和一个$r=y$的区间，那么最小值不降且个数减小
性质3：$\forall s_{j}=\max_{1\le i\le n}s_{i},j\in [x,y]$
若存在$j\not\in [x,y]$，则$s_{k}-t_{k}\le s_{j}-(t_{j}-1)$（根据性质2），与引理矛盾
结合上述性质，来考虑如何求出此方案——
二分枚举答案$T=\max_{1\le i\le n}t_{i}$，取$s_{i}$的最大值为$s_{k}$，再枚举$t_{k}=T$或$T-1$
由于所有反转区间都包含$k$，即可推出反转的区间个数$cnt=s_{k}-t_{k}$
记$cnt'_{i}$为包含$i$的反转区间个数，限制即$s_{i}+(cnt-2cnt'_{i})\le T$，不妨写成$cnt'_{i}\ge lim_{i}$的形式
由此，考虑在满足$i\in [1,k)$的限制基础上，最大化反转区间的右端点
具体的，从小到大枚举$i$，并维护左端点$\le i$的未反转区间右端点（要求$\ge k$），在$i$上贪心反转右端点最大的$\max(lim_{i}-cnt'_{i},0)$个区间即可
事实上，之前的性质也适用于"最大覆盖次数$\le T$（而不是取到最小值）且反转的区间个数最少"的反转方案，因此之前的二分显然具备单调性
时间复杂度为$o(n\log^{2}n)$，可以通过
1 #include<bits/stdc++.h> 2 using namespace std; 3 #define N 200005 4 #define ll long long 5 #define pii pair<int,int> 6 #define fi first 7 #define se second 8 vector<pii>v[N]; 9 priority_queue<pii>q; 10 int n,m,k,x,y,z; 11 ll s[N],t[N]; 12 bool check(ll T,ll cnt){ 13 ll Cnt=cnt; 14 memset(t,0,sizeof(t)); 15 while (!q.empty())q.pop(); 16 for(int i=1;i<=k;i++){ 17 t[i]+=t[i-1]; 18 for(int j=0;j<v[i].size();j++) 19 if (v[i][j].fi>=k)q.push(v[i][j]); 20 ll lim=(s[i]+cnt-T+1>>1); 21 if (i==k)lim=cnt; 22 while (t[i]<lim){ 23 if (q.empty())return 0; 24 pii o=q.top(); 25 q.pop(); 26 if (t[i]+o.se<=lim){ 27 Cnt-=o.se,t[i]+=o.se,t[o.fi]-=o.se; 28 continue; 29 } 30 int s=lim-t[i]; 31 Cnt-=s,t[i]+=s,t[o.fi]-=s; 32 q.push(make_pair(o.fi,o.se-s)); 33 } 34 } 35 if (Cnt<0)return 0; 36 for(int i=k+1;i<=n;i++){ 37 t[i]+=t[i-1]; 38 if (s[i]+(cnt-(t[i]<<1))>T)return 0; 39 } 40 return 1; 41 } 42 bool check(ll T){ 43 return check(T,s[k]-T)|check(T,s[k]-(T-1)); 44 } 45 int main(){ 46 scanf("%d%d",&n,&m); 47 for(int i=1;i<=m;i++){ 48 scanf("%d%d%d",&x,&y,&z); 49 if (x>y)swap(x,y); 50 s[x]+=z,s[y]-=z; 51 v[x].push_back(make_pair(y,z)); 52 } 53 for(int i=1;i<=n;i++)s[i]+=s[i-1]; 54 for(int i=1;i<=n;i++) 55 if (s[k]<s[i])k=i; 56 ll l=0,r=s[k]; 57 while (l<r){ 58 ll mid=(l+r>>1); 59 if (check(mid))r=mid; 60 else l=mid+1; 61 } 62 printf("%lld\n",l); 63 return 0; 64 }