[loj2393]门票安排

为了方便，不妨假设$a_{i}\le b_{i}$，并将问题转换为以下形式：

$\forall 1\le i\le m$，将$[a_{i},b_{i})$或$[1,a_{i})\cup [b_{i},n]$覆盖共$c_{i}$次，最小化覆盖次数最多的位置

考虑先全部覆盖$[a_{i},b_{i})$，再将若干个区间反转来调整，并且要求最终反转的方案（在取到最小值的基础上）反转的区间个数最少，下面来分析此方案的性质——

记初始第$i$个位置被覆盖$s_{i}$次，反转后第$i$个位置被覆盖$t_{i}$次

性质1：反转的区间两两有交

若存在两个反转的区间不交，撤销反转这两个区间，显然最小值不降且个数减小

由此，记反转的区间交为$[x,y]$，$[x,y]$中$t_{i}$的最大值为$t_{k}$

引理：$\forall i\in [x,y],s_{i}-t_{i}=s_{k}-t_{k}$；$\forall i\not\in [x,y],s_{i}-t_{i}\le s_{k}-t_{k}-2$

注意到$s_{i}-t_{i}$仅取决于$i$被多少个反转的区间覆盖，且每少一个区间值会减小2

另外，由前者显然可得$s_{k}=\max_{x\le i\le y}s_{i}$，以下不再叙述

性质2：$t_{k}\ge \max_{1\le i\le n}t_{i}-1$

若不成立，撤销反转一个$l=x$的区间和一个$r=y$的区间，那么最小值不降且个数减小

性质3：$\forall s_{j}=\max_{1\le i\le n}s_{i},j\in [x,y]$

若存在$j\not\in [x,y]$，则$s_{k}-t_{k}\le s_{j}-(t_{j}-1)$（根据性质2），与引理矛盾

结合上述性质，来考虑如何求出此方案——

二分枚举答案$T=\max_{1\le i\le n}t_{i}$，取$s_{i}$的最大值为$s_{k}$，再枚举$t_{k}=T$或$T-1$

由于所有反转区间都包含$k$，即可推出反转的区间个数$cnt=s_{k}-t_{k}$

记$cnt'_{i}$为包含$i$的反转区间个数，限制即$s_{i}+(cnt-2cnt'_{i})\le T$，不妨写成$cnt'_{i}\ge lim_{i}$的形式

由此，考虑在满足$i\in [1,k)$的限制基础上，最大化反转区间的右端点

具体的，从小到大枚举$i$，并维护左端点$\le i$的未反转区间右端点（要求$\ge k$），在$i$上贪心反转右端点最大的$\max(lim_{i}-cnt'_{i},0)$个区间即可

事实上，之前的性质也适用于"最大覆盖次数$\le T$（而不是取到最小值）且反转的区间个数最少"的反转方案，因此之前的二分显然具备单调性

时间复杂度为$o(n\log^{2}n)$，可以通过

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define N 200005
#define ll long long
#define pii pair<int,int>
#define fi first
#define se second
vector<pii>v[N];
priority_queue<pii>q;
int n,m,k,x,y,z;
ll s[N],t[N];
bool check(ll T,ll cnt){
    ll Cnt=cnt;
    memset(t,0,sizeof(t));
    while (!q.empty())q.pop();
    for(int i=1;i<=k;i++){
        t[i]+=t[i-1];
        for(int j=0;j<v[i].size();j++)
            if (v[i][j].fi>=k)q.push(v[i][j]);
        ll lim=(s[i]+cnt-T+1>>1);
        if (i==k)lim=cnt;
        while (t[i]<lim){
            if (q.empty())return 0;
            pii o=q.top();
            q.pop();
            if (t[i]+o.se<=lim){
                Cnt-=o.se,t[i]+=o.se,t[o.fi]-=o.se;
                continue;
            }
            int s=lim-t[i];
            Cnt-=s,t[i]+=s,t[o.fi]-=s;
            q.push(make_pair(o.fi,o.se-s));
        }
    }
    if (Cnt<0)return 0;
    for(int i=k+1;i<=n;i++){
        t[i]+=t[i-1];
        if (s[i]+(cnt-(t[i]<<1))>T)return 0;
    }
    return 1;
}
bool check(ll T){
    return check(T,s[k]-T)|check(T,s[k]-(T-1));
}
int main(){
    scanf("%d%d",&n,&m);
    for(int i=1;i<=m;i++){
        scanf("%d%d%d",&x,&y,&z);
        if (x>y)swap(x,y);
        s[x]+=z,s[y]-=z;
        v[x].push_back(make_pair(y,z));
    }
    for(int i=1;i<=n;i++)s[i]+=s[i-1];
    for(int i=1;i<=n;i++)
        if (s[k]<s[i])k=i;
    ll l=0,r=s[k];
    while (l<r){
        ll mid=(l+r>>1);
        if (check(mid))r=mid;
        else l=mid+1;
    }
    printf("%lld\n",l);
    return 0;
}