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公交线路
Description
小Z所在的城市有N个公交车站，排列在一条长(N-1)km的直线上，从左到右依次编号为1到N，相邻公交车站间的距离均为1km。 作为公交车线路的规划者，小Z调查了市民的需求，决定按下述规则设计线路：
1.设共K辆公交车，则1到K号站作为始发站，N-K+1到N号台作为终点站。
2.每个车站必须被一辆且仅一辆公交车经过（始发站和终点站也算被经过）。
3.公交车只能从编号较小的站台驶往编号较大的站台。
4.一辆公交车经过的相邻两个
站台间距离不得超过Pkm。 在最终设计线路之前，小Z想知道有多少种满足要求的方案。由于答案可能很大，你只
需求出答案对30031取模的结果。
Input Format
仅一行包含三个正整数N K P，分别表示公交车站数，公交车数，相邻站台的距离限制。
N<=10^9，1<P<=10，K<N，1<K<=P
Output Format
仅包含一个整数，表示满足要求的方案数对30031取模的结果。
Sample Input
10 2 4
Sample Output
81
解析
问题转换：求个(n)个变量(x_{1-n})赋([1,k])之间的值的方案数，需要满足：(x_{1-k})取遍(1-k)，(x_{(n-k+1)-n})取遍(1-k)，任意一个区间([t,t+p-1])中(1-k)的数至少出现一次。
距离的限制其实就是上述问题转换中的最后一条限制。
考虑状压(dp)，由于(p)很小，我们就压一下当前阶段那个长度为(p)的区间的赋值情况。也就是说，(f[i][S])代表前(i-1)个变量一个完成赋值，区间([i,i+p-1])中(1-k)这些数的赋值情况为(S)的方案数。(S)是一个长度为(p)的二进制数，共有(k)个(1)，从最高位开始数，(S)的第(j)位为(1)，代表(x_{i+j-1})被赋值为了一个(1-k)之间的数（我们不关心每一个数的具体位置，只需要保证这(k)个数在这个区间内每个出现至少一次即可），作为当前区间合法性的关键值，其他变量随意。对于任意的(S)，需满足最高位为(1)，是因为我们必须保证第(i)位取，这样才能保证最后所有变量都赋了值。
转移当然是由上一个阶段转移而来，方程就是：
如何判定两个状态直接可以转移？首先两个状态的区间只差了一个位置。也就是(S')的最高位在(S)中不存在，那么我们就把最高位取走，然后在最低位后面补(0)，如果此时(S')是(S)的子集，那么我们只需在第(i+p-1)这个位置补上刚才取走的那个数就又是合法的方案了。所以，当操作完后的状态(S')是(S)的子集时，可以转移。
(Code:)
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N = 1e5+20 , SIZE = 130 , Mod = 30031;
int n,K,P,f[N][SIZE],S[SIZE],tot,ans;
inline void input(void)
{
scanf("%d%d%d",&n,&K,&P);
}
inline int add(int a,int b) { return a + b >= Mod ? a + b - Mod : a + b; }
inline void Add(int &a,int b) { a = add( a , b ); }
inline void DynamicProgram(void)
{
for (int i=1<<P-1;i<1<<P;i++)
{
int cnt = 0;
for (int j=1;j<=P;j++)
cnt += ( i >> (j-1) & 1 );
if ( cnt == K ) S[++tot] = i;
}
f[1][tot] = 1;
for (int i=2;i<=n-K+1;i++)
for (int j=1;j<=tot;j++)
for (int k=1;k<=tot;k++)
{
int S1 = S[k] , S2 = S[j];
int S3 = S1 - (1<<P-1) << 1;
for (int l=1;l<=P;l++)
if ( not( S3 >> (l-1) & 1 ) && ( S3 + (1<<l-1) == S2 ) )
Add( f[i][j] , f[i-1][k] );
}
}
int main(void)
{
input();
DynamicProgram();
printf("%d
",f[n-K+1][tot]);
return 0;
}
这样的动态规划算法的时间复杂度为(O(nC_{p-1}^{k-1}))，使用矩阵乘法加速，时间复杂度为(O((C_{p-1}^{k-1})^3log_2n))。
(Code:)
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N = 1e5+20 , SIZE = 130 , Mod = 30031;
int n,K,P,S[SIZE],f[SIZE],tot;
inline int add(int a,int b) { return a + b >= Mod ? a + b - Mod : a + b; }
inline int mul(int a,int b) { return 1LL * a * b % Mod; }
inline void Add(int &a,int b) { a = add( a , b ); }
struct Matrix
{
int mat[SIZE][SIZE];
Matrix () { memset( mat , 0 , sizeof mat ); }
friend Matrix operator * (Matrix a,Matrix b)
{
Matrix c;
for (int i=1;i<=tot;i++)
for (int j=1;j<=tot;j++)
for (int k=1;k<=tot;k++)
Add( c.mat[i][j] , mul( a.mat[i][k] , b.mat[k][j] ) );
return c;
}
};
Matrix Trans;
inline void Maxtrixmul(int *a,Matrix b)
{
int c[SIZE] = {};
for (int j=1;j<=tot;j++)
for (int k=1;k<=tot;k++)
Add( c[j] , mul( a[k] , b.mat[k][j] ) );
memcpy( a , c , sizeof c );
}
inline void DynamicProgram(void)
{
for (int i=1<<P-1;i<1<<P;i++)
{
int cnt = 0;
for (int j=1;j<=P;j++)
cnt += ( i >> (j-1) & 1 );
if ( cnt == K ) S[++tot] = i;
}
for (int i=1;i<=tot;i++)
for (int j=1;j<=tot;j++)
{
int S1 = S[i] , S2 = S[j];
int S3 = S1 - (1<<P-1) << 1;
for (int k=1;k<=P;k++)
if ( not( S3 >> (k-1) & 1 ) && ( S3 + (1<<k-1) == S2 ) )
Trans.mat[i][j] = 1;
}
int T = n - K; f[tot] = 1;
while ( T )
{
if ( 1 & T ) Maxtrixmul( f , Trans );
Trans = Trans * Trans , T >>= 1;
}
}
int main(void)
{
scanf("%d%d%d",&n,&K,&P);
DynamicProgram();
printf("%d
",f[tot]);
return 0;
}
<后记>