ABC128F Frog Jump

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题目大意

给定一个长为 $n$ 的数组 $s$，下标从 $0$ 开始。$ 3 le n le 10^5$，$-109 le s_i le 10^9$，$s_0 = s_{n - 1} = 0$ 。

一只青蛙要在数组 $s$ 上玩一个游戏。游戏规则如下
初始时青蛙的位置（即青蛙所在的数组下标）是 $0$，它的分数是 $0$；青蛙要选择两个正整数 $A，B$，并不断重复下述过程直到游戏结束：
step 1. 设青蛙当前位置是 $x$，跳到 $y = x + A$ 。若 $y = n -1$，游戏结束；若 $y$ 超出下标范围或者青蛙之前到过位置 $y$，则游戏结束，分数是 $-infty$；否则分数加上 $s_{y}$，进行 step 2。
step 2. 设青蛙当前位置是 $x$，跳到 $y = x - B$ 。 若 $y = n -1$，游戏结束；若 $y$ 超出下标范围或者青蛙之前到过位置 $y$，则游戏结束，分数是 $-infty$；否则分数加上 $s_{y}$，回到 step 1。

试问青蛙的游戏得分最大可能是多少？

分析

比赛时我把题意误解成每次选择 step 1 或 step 2 其中之一进行操作。

$A = n - 1$ 是平凡情形，考虑青蛙至少跳两步且得分不是 $-infty$ 的情形。
此时有（i） $ 1 le B < A le n - 2$；（ii）青蛙的位置序列是 $0, A, A - B, (A - B) + A, 2(A- B), 2(A- B) + A, dots, k(A- B), k(A-B) + A = n - 1$，且序列中无重复元素。

key observation

这个序列可以分解成两部分，从左往右，$0, A - B, 2(A-B), dots, k(A-B)$；从右往左，$n - 1 = k(A - B) + A, n - 1 -(A-B), n- 1- 2(A-B), dots, n - 1 - k(A- B) = A$ 。
换言之，青蛙的位置序列可以分解成两个由数组 $s$ 的下标构成的不相交（即无共同元素）的等差序列，一个从左往右，首项是 0，公差是 $A - B$；另一个是从右往左，首项是 $n - 1$，公差是 $B - A$ 。

容易看出，青蛙的位置序列完全由 $A - B$ 和 $k$ 决定。于是我们可以得到一个解法：

枚举 $A - B$ 的值；固定 $A-B$，再枚举 $k$ 的值，若两等差序列无共同元素，则更新答案。