朴素高精度乘法的常数优化

2015年辽宁省赛热身赛有一道高精度乘法

传送门：NEUOJ 1574 A*B

1574: A * B

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题目描述

Calculate $a imes b$.

输入

Your program will be tested on one or more test cases. In each test case, two integer $a$, $b$ ($0le a,ble 10^{100000}$).

 

输出

For each test case, print the following line:

answer

where answer is $a imes b$.

样例输入

1000000000000000 2000000000000000

样例输出

2000000000000000000000000000000

提示

来源

2015省赛热身赛

朴素高精度乘法的典型写法是

#include<cstdio>
#include<cstring>
using namespace std;
const int MAX_N=1e5+10;
char sa[MAX_N], sb[MAX_N];
int a[MAX_N], b[MAX_N], res[MAX_N<<1];
int main(){
    //freopen("in", "r", stdin);
    while(~scanf("%s%s", sa, sb)){
        int i, j;
        memset(res, 0, sizeof(res));
        for(i=0; sa[i]; i++){
             for(j=0; sb[j]; j++){
                 res[i+j]+=(sa[i]-'0')*(sb[j]-'0');
             }
        }
        int tot=i+j-2;    //error-prone
        for(i=tot; i; i--){
            res[i-1]+=res[i]/10;
            res[i]%=10;
        }
        printf("%d", res[0]);    //error-prone
        if(res[0]) for(i=1; i<=tot; i++) printf("%d", res[i]);
        puts("");
    }
    return 0;
}

但这样写会TLE。下面要介绍一种常数优化：

将大整数从低位到高位每 $6$ 位分成一组（最后一组若不够 $6$ 位自动在高位补 $0$)，这样便自然得到了大整数的「一百万进制」表示，将每组内的十进制计数看成是一百万进制的一个“数字”，由于小于一百万的数的乘法无需采用高精度计算，可认为是 $O(1)$ 的，实际上对于不致溢出的小整数，机器实现的乘法比模拟竖式计算要快好多。这样便在原来十进制表示下的朴素高精度乘法的基础上，实现了常数优化。这样的常数优化常常是有效的。

#include<cstdio>
#include<cstring>
#define set0(a) memset(a, 0, sizeof(a))
using namespace std;
const int MAX_N=1e5+10;
typedef long long ll;
char sa[MAX_N], sb[MAX_N];
ll a[MAX_N], b[MAX_N], res[MAX_N<<1];
int base=6;
ll mod=1e6;
int trans(char *s, ll *a){  //value-passed
    //memset(a, 0, sizeof(a));    //error-prone
    int ls=strlen(s), len=(ls+base-1)/base;
    int now=0, rem=ls%base;
    int l, r;
    if(rem){
        l=0; r=rem;
        for(int i=r-1, p=1; i>=l; i--, p*=10){
            a[0]+=(s[i]-'0')*p;
        }
        now++;
    }
    for(int i=0; now<len; now++, i++){
        l=rem+base*i, r=l+base; //error-prone
        for(int j=r-1, p=1; j>=l; j--, p*=10){
            a[now]+=(s[j]-'0')*p;
        }
    }
    return len;
}
 
int main(){
    //freopen("in", "r", stdin);
    while(~scanf("%s%s", sa, sb)){
        set0(a); set0(b); set0(res);
        int la=trans(sa, a), lb=trans(sb, b);
        for(int i=0; i<la; i++){
            for(int j=0; j<lb; j++){
                res[i+j]+=a[i]*b[j];
            }
        }
        int tot=la+lb-2;
        for(int i=tot; i; i--){
            res[i-1]+=res[i]/mod;
            res[i]%=mod;
        }
        int i;
        for(i=0; i<=tot&&!res[i]; i++);
        if(i>tot) putchar('0');
        else{
            printf("%lld", res[i++]);   //error-prone
            for(; i<=tot; i++) printf("%06lld", res[i]);
        }
        puts("");
    }
    return 0;
}

Time: 4158MS

选择每 $6$ 个分一组是要保证运算过程不会溢出 long long，就本题的数据范围而言，取 $7$ 位分为一组也可，这样常数会更优，只需将上面的代码稍加修改（注意加粗的三行）

#include<cstdio>
#include<cstring>
#define set0(a) memset(a, 0, sizeof(a))
using namespace std;
const int MAX_N=1e5+10;
typedef long long ll;
char sa[MAX_N], sb[MAX_N];
ll a[MAX_N], b[MAX_N], res[MAX_N<<1];
int base=7;
ll mod=1e7;
int trans(char *s, ll *a){  //value-passed
    //memset(a, 0, sizeof(a));    //error-prone
    int ls=strlen(s), len=(ls+base-1)/base;
    int now=0, rem=ls%base;
    int l, r;
    if(rem){
        l=0; r=rem;
        for(int i=r-1, p=1; i>=l; i--, p*=10){
            a[0]+=(s[i]-'0')*p;
        }
        now++;
    }
    for(int i=0; now<len; now++, i++){
        l=rem+base*i, r=l+base; //error-prone
        for(int j=r-1, p=1; j>=l; j--, p*=10){
            a[now]+=(s[j]-'0')*p;
        }
    }
    return len;
}
 
int main(){
    //freopen("in", "r", stdin);
    while(~scanf("%s%s", sa, sb)){
        set0(a); set0(b); set0(res);
        int la=trans(sa, a), lb=trans(sb, b);
        for(int i=0; i<la; i++){
            for(int j=0; j<lb; j++){
                res[i+j]+=a[i]*b[j];
            }
        }
        int tot=la+lb-2;
        for(int i=tot; i; i--){
            res[i-1]+=res[i]/mod;
            res[i]%=mod;
        }
        int i;
        for(i=0; i<=tot&&!res[i]; i++);
        if(i>tot) putchar('0');
        else{
            printf("%lld", res[i++]);   //error-prone
            for(; i<=tot; i++) printf("%07lld", res[i]);
        }
        puts("");
    }
    return 0;
}

 Time: 2937MS（这结果在所有AC的提交中算是很优的了）

当然高精度乘法有复杂度更优的解法，比如快速傅立叶变换（FFT），但通过本题，我们看到这种代码量较小的分组常数优化对于 $N$ 不太大，时限较宽的问题还是很有效的。