Codeforces 1C Ancient Berland Circus

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题意

给出一正多边形三顶点的坐标，求此正多边形的面积最小值。

分析

为了叙述方便，定义正多边形的单位圆心角 $u$ 为正多边形的某条边对该正多边形外心（外接圆的圆心）所张的角（即外接圆的某条弦所对的圆心角）。

1. 多边形的边数未知，但其外接圆是确定的。多边形的外接圆即三个顶点所构成三角形的外接圆。面积最小即边数最少，单位圆心角最大。
2. 设三角形某两边所对的圆心角为 $a_1$，$a_2$ (expressed in radians)，则最大单位圆心角为 $u= gcd(a_1, a_2, 2pi-a_1-a_2)$

思路

1. 三点定圆。两线段中垂线交点即为圆心。若线段AB两端点的坐标分别为 A $(x_1, y_1)$， B $(x_2, y_2)$，则AB的中垂线方程为 $$2(x_1-x_2) x + 2(y_1-y_2) y = (x_1^2+y_1^2) - (x_2^2+y_2^2)$$ 此式形式十分对称，便于记忆。解方程组即得圆心坐标。
2. 求两正实数的最大公约数（gcd）。
3. 求正多边形的面积。

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define X first
#define Y second
#define mp make_pair
#define dis2(p) (p.X*p.X+p.Y*p.Y)
#define det(i, j) (eq[0][i]*eq[1][j]-eq[0][j]*eq[1][i])
#define ang(p) atan2(p.Y, p.X)
#define eps 1e-4
#define PI 3.14159263558979323846 
typedef double db;
typedef pair<db, db> P;
P p[3];
//make sure that your algorithm is correct
db get_ang(P v1, P v2){
    return acos((v1.X*v2.X+v1.Y*v2.Y)/dis2(v1));
}
P get_center(){
    db eq[2][3];
    for(int i=0; i<2; i++){
        eq[i][0]=2*(p[i].X-p[i+1].X);
        eq[i][1]=2*(p[i].Y-p[i+1].Y);
        eq[i][2]=dis2(p[i])-dis2(p[i+1]);
    }
    return mp(det(2, 1)/det(0, 1), det(0, 2)/det(0, 1));
}

P operator - (const P &a, const P &b){
    return mp(a.X-b.X, a.Y-b.Y);
}

db gcd(db a, db b){
    return b<eps?a:gcd(b, fmod(a, b));
}

int main(){
    //freopen("in", "r", stdin);
    for(int i=0; i<3; i++)
        scanf("%lf%lf", &p[i].X, &p[i].Y);
    P center=get_center();
    P v[3];
    for(int i=0; i<3; i++)
        v[i]=p[i]-center;
    db a1=get_ang(v[0], v[1]);
    db a2=get_ang(v[0], v[2]);
    db a3=2*PI-a1-a2;
    db tmp=gcd(gcd(a1, a2), a3);
    db res=PI/tmp*dis2(v[1])*sin(tmp);
    printf("%.8f
", res);
    return 0;
}

P.S. 这道题还有更简便的解法，不必求外接圆圆心坐标，也不必求圆心角。有下列结论

设题中给出的三点所成三角形的三内角分别为 $A，B，C$ (expressed in radians） 则 $u$ 的最大值为

$$ 2 gcd(A, B, C) $$

（此式与前面给出的表达式是一致的）

$A, B, C$ 可由余弦定理求得。还要求出三角形外接圆半径 $R$，可利用公式 $ R = dfrac{abc}{4S}$，$a, b, c$ 为三边长，$S$ 为面积。

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

using ll=long long;

ll pow(int x, int n, int mod){
    ll res=1;
    for(; n; ){
        if(n&1) res*=x, res%=mod;
        x*=x, x%=mod, n>>=1;
    }
    return res;
}

ll inv(int x, int p){
    return pow(x, p-2, p);
}

ll lcm(ll x, ll y, int p){
    return x*y%p*inv(__gcd(x, y), p)%p;
}

int main(){
    int n, k;
    cin>>n>>k;
    const int mod=1e9+7;

    int res=0;

    int m=min(2*k, n);
    k=min(k, n);

    for(int s=0; s<1<<m; s++){
        int ones=0;
        for(int i=0; i<m; i++)
            ones+=bool(s&1<<i);
        int tmp=1;

        if(ones==k){
            for(int i=0; i<m; i++)
                if(s&1<<i)
                    tmp=lcm(tmp, n-i, mod);
                res=max(res, tmp);
        }
    }
    cout<<res<<endl;
    return 0;
}