时间限制:10000ms
单点时限:5000ms
内存限制:256MB
描述
你正在和小冰玩一个猜数字的游戏。小冰首先生成一个长为N的整数序列 $A_1, A_2, dots , A_N$。在每一轮游戏中，小冰会给出一个区间范围 $[L, R]$，然后你要猜一个数 $K$。如果 $K$ 在 $A_L, A_{L+1}, dots , A_R$ 中，那么你获胜。
在尝试了几轮之后，你发现这个游戏太难（无聊）了。小冰决定给你一些提示，你每猜一次，小冰会告诉你 $K$ 与 $A_L, A_{L+1}, dots, A_R$ 中最接近的数的绝对差值，即 $min(|A_i - K|), L le i le R$。
现在，请你实现这个新功能。
输入
第一行为一个整数 $T$，表示数据组数。
每组数据的第一行为两个整数 $N$ 和 $Q$。
第二行为 $N$ 个由空格分开的整数，分别代表 $A_1, A_2, dots, A_N$。
接下来 $Q$ 行，每行三个由空格隔开的整数 $L、R、K$。
输出
每组数据的先输出一行"Case #X:"，X为测试数据编号。
接下来对每个询问输出一行，每行为一个整数，即为所求的值。
数据范围
1 ≤ T ≤ 20
0 ≤ Ai, K ≤ 109
1 ≤ L ≤ R ≤ N
小数据
1 ≤ N, Q ≤ 1000
大数据
1 ≤ N, Q ≤ 200000
输入数据量较大，推荐使用scanf / BufferedReader等IO方法。
- 样例输入
-
1 9 3 1 8 3 4 9 2 7 6 5 1 9 10 3 7 9 5 6 5
- 样例输出
- Case #1:
- 1
- 0
- 3
Solution
- 先定义一个概念
- 给定数组 $a_{1},dots,a_{n}$，数 $k$ 在区间 $[l,r]$ 上的Rank——记作Rank(k, l, r)——定义为：
- a[l..r]上小于k的数字的个数
- 对于每组询问 $L, R, K$，先求出Rank(K, L, R)，剩下的问题就是求（静态）区间第 $k$ 小。
- 为了方便表述，将 $a[l dots r]$ 上第 $k$ 小的数记作 least(k, l, r)，ans表示每个查询的答案，分三种情况：
- (1) Rank(K, L, R) = 0, ans = least(Rank(K, L, R)+1, L, R) - K
- (2) Rank(K, L, R) = R-L+1, ans = K - least(Rank(K, L, R), L, R)
- (3) otherwise, ans = min(least(Rank(K, L, R)+1, L, R) - K, K - least(Rank(K, L, R), L, R))
- Rank(K, L, R)与least(K, L, R)都可用划分树实现，单次查询的时间复杂度都是O(log n)，而且二者代码非常相似。
- 划分树的空间复杂度是 $O(n log n)$。
- 划分树 (partition tree)
- 划分树是线段树的一种，用于维护数组 $A[1 dots n]$。它的每个节点u代表数组 $A$ 的一些元素。
- 假设内部（即非叶子)节点 $u$ 表示元素是 $u[L..R] subset A$，定义节点 $u$ 的长度 $u.length=R-L+1$，记 $u$ 的左右儿子分别为 $v, w$，令
- [midequiv frac{L+R}{2}]
- 则
- [v.length=mid-L+1, w.length=R-mid]
- 或者表示成
- [ v = v[L, mid], w=w(mid,R] ]
Implmentation
#include <bits/stdc++.h> using namespace std; const int N(2e5+5); int a[19][N], toleft[19][N], sa[N]; void build(int lev, int l, int r){ if(l==r) return; int mid=(l+r)>>1, &tar=sa[mid], nl=mid-l+1; for(int i=l; i<=r; i++) if(a[lev][i]<tar) nl--; for(int i=l, lp=l, rp=mid+1; i<=r; i++){ if(a[lev][i]<tar) a[lev+1][lp++]=a[lev][i]; else if(a[lev][i]>tar) a[lev+1][rp++]=a[lev][i]; else nl?a[lev+1][lp++]=a[lev][i],nl--:a[lev+1][rp++]=a[lev][i]; toleft[lev][i]=toleft[lev][l-1]+lp-l; } build(lev+1, l, mid); build(lev+1, mid+1, r); } //Rank(l, r, k):区间[l, r]内比k小的数的个数 //满足区间加法 int Rank(int lev, int L, int R, int l, int r, int val){ if(L==R) return a[lev][L]<val; int nl=toleft[lev][r]-toleft[lev][l-1], nr=r-l+1-nl, mid=(L+R)>>1; if(sa[mid]>=val){ if(nl){ l=L+toleft[lev][l-1]-toleft[lev][L-1]; r=l+nl-1; return Rank(lev+1, L, mid, l, r, val); } return 0; //error-prone } else{ if(nr){ r+=toleft[lev][R]-toleft[lev][r]; l=r-nr+1; return nl+Rank(lev+1, mid+1, R, l, r, val); } return nl; } } int Query(int lev, int L, int R, int l, int r, int k){ if(L==R) return a[lev][L]; int nl=toleft[lev][r]-toleft[lev][l-1], nr=r-l+1-nl, mid=(L+R)>>1; if(nl>=k){ l=L+toleft[lev][l-1]-toleft[lev][L-1]; r=l+nl-1; return Query(lev+1, L, mid, l, r, k); } r+=toleft[lev][R]-toleft[lev][r]; l=r-nr+1; return Query(lev+1, mid+1, R, l, r, k-nl); } int main(){ int T; scanf("%d", &T); for(int n, q, cs=0; T--;){ scanf("%d%d", &n, &q); printf("Case #%d: ", ++cs); for(int i=1; i<=n; i++) scanf("%d", sa+i), a[0][i]=sa[i]; sort(sa+1, sa+n+1); build(0, 1, n); for(int l, r, k, rk, res; q--;){ scanf("%d%d%d", &l, &r, &k); rk=Rank(0, 1, n, l, r, k); //printf("%d ", rk); if(rk==0) res=Query(0, 1, n, l, r, rk+1)-k; else if(rk==r-l+1) res=k-Query(0, 1, n, l, r, rk); else res=min(Query(0, 1, n, l, r, rk+1)-k, k-Query(0, 1, n, l, r, rk)); printf("%d ", res); } } }
问题解决了，但代码不是可以写得再短一些？
Rank和Query可否合并到一起呢？