LGP4588[JSOI2018]扫地机器人

• 题解

  • 需要先说明一点东西：

  • 1

    • 同一副对角线方向相同,共有$gcd(n,m)$条不同的副对角线，机器人的行为是一个$gcd(n,m)$的循环；；
    • 如果左上方是$(1,1)$,容易看出所有的路径是从左或上面连向右或下面并且紧密排列，所以所有副对角线上方向相同；
    • 有些副对角线是间隔开的只需要将网格重复几次，那么一条副对角的特征就可以用$x+y+kn+km$
    • 由斐蜀定理可知一共有$gcd(n,m)$条；
    • 并且每次一定是从一条对角线$x$走向对角线$x+1$,所以循环节为$gcd(n,m)$

  • 2

    • $n*m$的一种矩形，记$d=gcd(n,m)$，$d_{x}$为$d$步中向下走的步数，$d_{y}$为向右走的步数，一种方案合法当且仅当$$d_{x}+d_{y}=d$, gcd(d_{x},n)=gcd(d_{y},m)=1$$

    • 2.1 充分性：
      

    • 考虑一个格子在不同的循环节内的位置：$(x+kd_{x} , y+kd_{y})$
    • 由于$gcd(d_{x},n)=gcd(d_{y},m)=1$，所以$x$的循环节长度是$n$,$y$的循环节长度是$m$，同时循环节内元素互不相同，所以$(x,y)$的循环节长度是$lcm(n,m)$
    • 所以棋盘一定会被分成$frac{nm}{lcm(n,m)} = gcd(n,m)$个类;
    • 考虑在同一个循环节内的不同位置:$(x_{i},y_{i})$和$(x_{j},y_{j})$
    • 记$delta x  = abs(x_{i}-x_{j}) , delta y = abs(y_{i}-y_{j}) $
    • 必有$delta x < d_{x} || delta y < d_{y} $发生，所以$(x_{i},y_{i})$和$(x_{j},y_{j})$一定不同类；
    • 由于$d_{x}+d_{y}=d$，所以这就有了所以$d$个类即可以将棋盘完全覆盖；

    • 2.2 必要性：
      

    • 由斐蜀定理可知在任意$gcd$不为$1$的时候有些坐标是没法表示的，所以肯定也走不到；
  • 现在可以求方案了，考虑如何求步数和：
  • 枚举满足的$d_{x}$和$d_{y}$
  • 枚举撞到障碍的轮数$l$，得到起点$(x_{l},y_{l})$；
  • 可以将前$l$轮和前$l-1$的障碍全部分别映射到$(x_{l},y_{l}) , (x_{l}+d_{x}+1,y_{l}+d_{y}+1)$的矩形中；
  • 现在需要找到每一条在前$l-1$轮不停下在$l$轮停下的路径；
  • 枚举第$l$轮的障碍，前$l$轮图上从起点到最后一个非障碍点的路径 *前$l-1$图上 障碍点到终点的路径即可；
  • 分别在出处理好的前$l$和前$l-1$的图上做两个普通路径计数$dp$即可；

• #include<bits/stdc++.h>
  #define mod 998244353
  using namespace std;
  const int N=110;
  int n,m,mp[2][N][N],f[2][N][N],ans;
  char s[N][N];
  void upd(int&x,int y){x+=y;if(x>=mod)x-=mod;}
  int gcd(int a,int b){return !b?a:gcd(b,a%b);}
  int main(){
      #ifndef ONLINE_JUDGE
      freopen("T2.in","r",stdin);
      freopen("T2.out","w",stdout);
      #endif
      int T;scanf("%d",&T);
      while(T--){
          ans=0;
          scanf("%d%d",&n,&m);
          for(int i=1;i<=n;++i)scanf("%s",s[i]+1); 
          for(int i=1;i<=n<<1;++i)
          for(int j=1;j<=m<<1;++j)s[i][j]=s[(i-1)%n+1][(j-1)%m+1];
          int d=gcd(n,m),cur=0;
          for(int dx=0,dy;dx<=d;++dx){
              dy=d-dx;
              if(gcd(dx,n)!=1||gcd(dy,m)!=1)continue; 
                
              for(int i=1;i<=dx+1;++i)
              for(int j=1;j<=dy+1;++j)
              mp[0][i][j]=mp[1][i][j]=0;
                
              for(int l=1,ax=1,ay=1;l<=n*m/d;++l){
                    
                  cur^=1;
                    
                  for(int i=1;i<=dx+1;++i)
                  for(int j=1;j<=dy+1;++j)
                  mp[cur][i][j]=mp[cur^1][i][j]|(s[ax+i-1][ay+j-1]-'0');
                    
                  for(int i=1;i<=dx+1;++i)
                  for(int j=1;j<=dy+1;++j)f[0][i][j]=f[1][i][j]=0;
                    
                  if(!mp[cur][1][1]){
                      f[cur][1][1]=1;
                      for(int i=1;i<=dx+1;++i)
                      for(int j=1;j<=dy+1;++j){
                          if(i!=dx+1&&!mp[cur][i+1][j])upd(f[cur][i+1][j],f[cur][i][j]); 
                          if(j!=dy+1&&!mp[cur][i][j+1])upd(f[cur][i][j+1],f[cur][i][j]);
                      }
                  }
                    
                  if(!mp[cur^1][dx+1][dy+1]){
                      f[cur^1][dx+1][dy+1]=1;
                      for(int i=dx+1;i;--i)
                      for(int j=dy+1;j;--j){
                          if(i!=1&&!mp[cur^1][i-1][j])upd(f[cur^1][i-1][j],f[cur^1][i][j]);
                          if(j!=1&&!mp[cur^1][i][j-1])upd(f[cur^1][i][j-1],f[cur^1][i][j]);
                      }
                  }
                    
                  for(int i=1;i<=dx+1;++i)
                  for(int j=1;j<=dy+1;++j)if(mp[cur][i][j]){ 
                      int x=0;
                      if(i!=1)upd(x,f[cur][i-1][j]);
                      if(j!=1)upd(x,f[cur][i][j-1]); 
                      int y = f[cur^1][i][j];
                      upd(ans, 1ll*((l-1)*d+i+j-2)*x%mod*y%mod);
                  }
                    
                  ax=(ax+dx-1)%n+1,ay=(ay+dy-1)%m+1;
                
              }
          }
          printf("%d
  ",ans); 
      }
      return 0;
  }