【动态树】动态树的应用 （总）

【动态树】动态树的应用 （总）

一、维护链的信息

通过split在树中处理出一条链，y点所储存的值就是答案

当要处理树的边权相关的问题时，我们可以化一条边为一个带权的点，就可以一般化处理了

二、动态维护连通性&强联通分量

维护连通性：findroot进行判断，其他就是link、cut的操作了

维护强联通分量：如果要连结A和B，若发现A和B在同一颗LCT中，则dfs缩点，就是把形成的环的fa指针指向A或B，但要注意在access时要改为

void access (int x)
{
    for (int y=0;x;y=x,x=fa[y]=find (fa[x]))
        splay (x),ch[x][1]=y,update (x);
}

维护强联通分量只支持加边，同时我们可以把动态删边离线倒序成动态加边

三、维护边权（常用于维护生成树）

利用LCT我们就可以动态维护一颗生成树

例如维护最小生成树：在一棵树中加入一条边时，会产生一个环，我们只需删去换上权值最大的一条边，在加入这条边即可

四、维护虚子树信息总和与原树信息总和

如果题目要我们维护一颗树的总size，我们就要引入虚子树；

原来我们update这样写：

void update (int x)
{
    size[x]=size[ch[x][0]]+size[ch[x][1]]+1;
}

现在我们新增一个数组si [u]，用来维护u虚边所连的子树的size总和，显然一颗树的总size为si [u]+size[u]

所以我们把update改为：

void update (int x)
{
    size[x]=size[ch[x][0]]+size[ch[x][1]]+si[x]+1;
} 

然后我们怎么维护si [MAXN]数组呢？

在link，access我们做出以下修改

void access (int x)
{
    for (int y=0;x;x=fa[y=x])
        splay (x),si[x]+=size[ch[x][1]],si[x]-=size[ch[x][1]=y],update (x);
}
void link (int x,int y)
{
    makeroot (x),access (y),splay (y),si[fa[x]=y]+=size[x],update (y);
}

在access时，会有虚边和实边的转化，我们进行删除和增加即可

同样link我们也如此操作，但我们要先将y变为没有fa的点，不然y的size与si改了，但它的祖先没有更改

五、维护树上染色联通块

我们可以对于每个联通快都开一个LCT，但如果数据是菊花图，肯定会被卡爆

因为树的形态是不会改变的，所以我们选定一个根，将无根树转化为有根树

这里以黑白为例：

我们在开两个LCT，一个存白色的联通块，一个存黑色联通块；

因为对于每个点，只有一条连父亲的边（根结点不连）

每个点有两个状态：
1、该点为白色，在白LCT中该点link其父亲结点

2、该点为黑色，在黑LCT中该点link其父亲结点

很显然，每个结点的颜色发生修改时我们只需在两棵LCT中修改对应父亲结点的边即可

所以时间复杂度可以保证O（QlogN）

图中通过父子连边形成了若干个联通块，我们达成了第一步

因为是父子连边，我们要先dfs一遍

void dfs (int u,int f)
{
    for (int i=head[u];i!=0;i=e[i].nxt)
        if (e[i].v!=f)
        {
            LCT[col[1]].link (e[i].v,u),fa[e[i].v]=u;
            dfs (e[i].v,u);
        }
}

我们在link，cut要修改一下

void link (int x,int y)
{
    if (!y) return;
    access (y),splay (x),splay (y);
    fa[x]=y,si[y]+=size[x],update (y);
}
void cut (int x,int y)
{
    if (!y) return;
    access (x),splay (x);
    ch[x][0]=fa[ch[x][0]]=0,update (x);
}

因为树根是固定的，所以切记不能使用makeroot，在splay时也不需pushdown

void splay (int x)
{
    while (nroot (x))
    {
        int y=fa[x];
        if (nroot (y)) rotate (get (x)==get (y)?y:x);
        rotate (x);
    }
    update (x);
}

其中update一定要加，因为如果该树中只有x一个结点，便不会rotate，size[x]和si[x]便不会改变，仍为0，导致WA

或者在初始定义时 for (int i=1;i<=n;i++) size[i]=1;定义一遍

操作代码：

要特判根结点的颜色是否与当前结点相同，否则除去根结点的答案

while (m--)
{
    int opt=read (),x=read ();
    if (opt==1)
        LCT[col[x]].cut (x,fa[x]),col[x]^=1,LCT[col[x]].link (x,fa[x]);
    else
    {
        LCT[col[x]].access (x);int rt=LCT[col[x]].findroot (x);
        if (col[rt]==col[x]) printf ("%d
",LCT[col[x]].size[rt]);
        else printf ("%d
",LCT[col[x]].size[LCT[col[x]].ch[rt][1]]);
    }
}