背景
(CCF) (NOIP2012) (Day1) (T2)， (Luogu) (P1080)
题意
给定国王和 (n) 个大臣左右手上的金币数 (a) 和 (b) 。每个大臣 (i) 获得金币为 (国王左手金币数 imes frac{prod_{j=1}^{i-1} a[j]}{b[i]}) ，请设计一个排队顺序使得到金币数最多的大臣获得的金币数最小，注意国王只能在队首。
解法
设国王所在位置为 (0) ，则每个大臣 (i) 获得金币为 (frac{prod_{j=0}^{i-1} a[j]}{b[i]}) 。贪心策略为按 (a[i] imes b[i]) 从小到大排序算结果即可。
证明：微扰法（邻项交换法）。
考虑连续的两个大臣 (i) 和 (i+1) ，假设交换 (i) 和 (i+1) 的位置，则对于 (i) 以前的大臣获得的金币数没有影响，对于 (i+1) 以后的大臣获得的金币数也没有影响。
在交换以前， (i) 获得的金币数为 (frac{prod_{j=0}^{i-1} a[j]}{b[i]}) ， (i+1) 获得的金币数为 (frac{prod_{j=0}^{i} a[j]}{b[i+1]}) 。而交换以后 (i) 获得的金币数为 (frac{prod_{j=0}^{i} a[j]}{b[i]}) ， (i+1) 获得的金币数为 (frac{prod_{j=0}^{i-1} a[j]}{b[i+1]}) 。
为了比较大小，约去公因式 (prod_{j=0}^{i-1} a[j]) ，则 (i) 交换前为 (frac{1}{b[i]}) ， (i+1) 交换前为 (frac{a[i]}{b[i+1]}) ， (i) 交换后为 (frac{a[i+1]}{b[i]}) ， (i+1) 交换后为 (frac{1}{b[i+1]}) 。
发现还是不便于比较，将四个数同时乘以 (b[i] imes b[i+1]) ，则 (i) 交换前为 (b[i+1]) ， (i+1) 交换前为 (a[i] imes b[i]) ， (i) 交换后为 (a[i+1] imes b[i+1]) ， (i+1) 交换后为 (b[i]) 。
已知金币数为正整数，故 (a[i] imes b[i] > b[i]) ， (a[i+1] imes b[i+1] > b[i+1]) ，而题目中答案只要求最大金币数最小，因此只需要比较 (a[i] imes b[i]) 和 (a[i+1] imes b[i+1]) 即可。
情况一： (a[i] imes b[i] geqslant a[i+1] imes b[i+1]) 时，交换不会使得答案变小，因此可以交换；
情况二： (a[i] imes b[i] leqslant a[i+1] imes b[i+1]) 时，交换不会使得答案变大，因此不要交换。
那么，使得整个队伍都有 (a[i] imes b[i] leqslant a[i+1] imes b[i+1]) 时，答案最小。
综上，贪心策略成立。
(trick)
以排序为贪心策略的题目大概率是用微扰法（邻项交换法）证明的。最终结果的序列一定不能通过交换使得答案变大。
细节
(1.) 每个大臣进队时，乘入结果的是上一个大臣左手上的数，除以的是自己手上的数。
(2.) 此题只有 (60\%) 的数据答案在 (10^9) 以内，其余的均要使用高精度解决。高精度模板