HDU 4937 Lucky Number 搜索

题意：

　　给你一个数，求在多少种不同的进制下这个数每一位都是3、4、5、6中的一个。

思路：　　

　　搜索。枚举这个数在任意进制下的表示，判断是否合法。当数字只有3、4、5、6时，必定有无穷种。

　　因为数字太大，所以直接枚举必定会超时。

　　下面有两种剪枝的方法：

　　　　1. 先枚举最后一位的情况。 假设数字n在base进制下表示为 a[n]...a[0]，即 n = a[0] + a[1]*base^1 + ... + a[n]*base^n。

　　 则 n - a[0] = a[1]*base^1 + ... + a[n]*base^n = base * (a[1] + ... + a[n]*base^(n-1) )。 即n - a[0] 是base 的倍数。

　　 所以，我们可以确定base是n-a[0]的因子。 所以，我们可以先枚举在某个进制下的末位a[0]，然后在枚举 n-a[i]的因子就好了。

　　代码如下：

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <cstdlib>
#include <cmath>
#include <algorithm>
#include <string>
#include <queue>
#include <stack>
#include <vector>
#include <map>
#include <set>
#include <functional>
#include <time.h>

using namespace std;

typedef __int64 ll;

const int INF = 1<<30;
const int MAXN = (int) 1e6+5;

int Prime[MAXN], len;
bool is[MAXN];

ll f[20];
int cnt[20], num;

void factor(ll x) { //分解质因数
    num = 0;
    if (x==1) return ;
    for (int i = 0; i < len; i++) if ((x%Prime[i])==0) {
        f[num] = Prime[i];
        cnt[num] = 0;
        while (x%Prime[i]==0) {
            x /= Prime[i];
            cnt[num]++;
        }
        num++;
        if (x==1) break;
        if (x<Prime[len-1] && !is[x]) break;
    }
    if (x!=1) {
        f[num] = x;
        cnt[num++] = 1;
    }
}

ll n;
int ans;

void dfs(ll base, int deep) { //枚举可以重复的组合
    if (deep==num) {
        if (base < 4) return ;
        ll tmp = n, t;
        while (tmp) {
            t = tmp%base;
            if (!(2<t&&t<7)) return ;
            tmp /= base;
        }
        ans++;
        return ;
    }
    ll tmp = base;
    for (int i = 0; i <= cnt[deep]; i++) {
        dfs(tmp, deep+1);
        tmp *= f[deep];
    }
}

void solve() {
    scanf("%I64d", &n);
    ans = 0;
    if (2<n&&n<7) {
        puts("-1");
        return ;
    }
    for (int i = 3; i < 7; i++) if (n-i>10) { //枚举末位
        factor(n-i);
        dfs(1LL, 0);
    }
    printf("%d
", ans);
}

int main() {
    #ifdef Phantom01
        freopen("HDU4937.in", "r", stdin);
    #endif //Phantom01

    memset(is, false, sizeof(is));
    len = 0;
    for (int i = 2; i < MAXN; i++) if (!is[i]) {
        Prime[len++] = i;
        for (ll j = i*2; j < MAXN; j+=i)
            is[j] = true;
    }

    int T;
    scanf("%d", &T);
    for (int i = 1; i <= T; i++) {
        printf("Case #%d: ", i);
        solve();
    }

    return 0;
}

　　　　2. 当n在base进制下为一位数的时候，为3、4、5、6，则一定存在无穷种进制下都是这个一位数。

　　　　　两位数时， n = a[1]*base + a[0]

　　　　　三位数时，n = a[2]*base^2 + a[1]*base + a[0]

　　　　因此，在n是两位数或者三位数时，我们可以枚举这个两位数或者三位数，求得有多少个base能得到这个两位数或三位数。

　　　　当 n 是4位数或者更多时， n = a[0] + a[1]*base^1 + ... + a[n]*base^n > 3*base^4 。即 3*base^4 < n <= 1e12。 所以，此时base < 7000。

　　　　所以，我们可以暴力枚举n是四位数的情况，而这时的base不会大于7000 。所以就不会超时了。

　　代码如下：

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <cstdlib>
#include <cmath>
#include <algorithm>
#include <string>
#include <queue>
#include <stack>
#include <vector>
#include <map>
#include <set>
#include <functional>
#include <time.h>

using namespace std;

typedef __int64 ll;
const int INF = 1<<30;

ll n;
int ans;

inline int function1(ll a, ll b) { //n = a*base + b
    if (((n-b)%a)!=0) return 0; //如果不是整数
    ll tmp = (n-b)/a;
    if (a>=tmp || b>=tmp) return 0; //如果位数大于进制数
    return 1;
}

inline int function2(ll a, ll b, ll c) { //n = a*base^2 + b*base + c
    c -= n;
    ll t1 = b*b-4*a*c;
    if (t1<0) return 0;
    ll t2 = (ll) sqrt((double)t1);
    if (t2*t2!=t1) return 0;
    if (((t2-b)%(2*a))!=0) return 0;
    t1 = (t2-b)/2/a;
    if (t1<=a || t1<=b || t1<=c || t1<=0) return 0;
    return 1;
}

inline bool check(int base) {
    ll t = n, cnt = 0, tt;
    while (t>0) {
        tt = t%base;
        if (!(2<tt&&tt<7)) return false;
        t /= base;
        cnt++;
    }
    return cnt>3;
}

void solve() {
    scanf("%I64d", &n);

    if (2<n&&n<7) {
        puts("-1");
        return ;
    }

    ans = 0;
    for (int i = 3; i < 7; i++) {
        for (int j = 3; j < 7; j++) {
            for (int k = 3; k < 7; k++) {
                ans += function2(i, j, k);
            }
            ans += function1(i, j);
        }
    }
    ll len = min(n, 7000ll);
    for (int i = 4; i < len; i++)
        ans += check(i) ? 1 : 0;

    printf("%d
", ans);
}


void ttt(int i) {
    int t = 255;
    printf("%d:", i);
    while (t) {
        printf("%d ", t%i);
        t /= i;
    }
    puts("");
}

int main() {
    #ifdef Phantom01
        freopen("HDU4937.in", "r", stdin);
//        freopen("HDU4937.txt", "w", stdout);
    #endif //Phantom01

    int T;
    scanf("%d", &T);
    for (int i = 1; i <= T; i++) {
        printf("Case #%d: ", i);
        solve();
    }

    return 0;
}