Planar Shadow中Shadow Matrix的推导

[概述]
1 由光源方向V和顶点Q可以确定一条射线K。
2 由法线N和法线上任一已知点P0可以确定平面L。
3 Q在L上的投影实际上就是K同L的交点P。
4 最终需要求的是如何通过矩阵变换将Q变换成P。

[推导]
首先，平面方程的向量形式是：
N · (P - P0) = 0;
N：法线，P0：平面上已知任一点
若设：D = - N · P0， 则平面方程为：
N · P + D = 0; (1)

然后，射线方程是：
P = Q + tV; (2)
Q：射线上任一点，V：射线方向

将(2)式代入(1)式得：
N · Q + (N · V)t + D = 0;
t = - (N · Q + D) / (N · V); (3)

如果将平面方程写成四维形式可以是：L = <N, D>
点向量Q的四维形式：<Q, 1>
方向向量V的四维形式：<V, 0>

则由(3)式得：
t = - (<N, D> · <Q, 1>) / (<N, D> · <V, 0>);
t = - (L · Q) / (L · V);

代入：Q = <Qx, Qy, Qz, 1>, V = <Vx, Vy, Vz, 0>, L = <Nx, Ny, Nz, D>
设E = L · V = NxVx + NyVy + NzVz;
将t代入(2)式，得：
PxE = Qx(NxVx + NyVy + NzVz) - (NxQx + NyQy + NzQz + D) Vx;
PxE = Qx(NyVy + NzVz) - Qy(NyVx) - Qz(NzVx) - DVx;

同理得Py, Pz

最后得到Shadow Matrix

NyVy + NzVz      -NyVx            -NzVx            -DVx
-NxVy            NxVx + NzVz      -NzVy            -DVy
-NxVz            -NyVz            NxVx + NyVy      -DVz
0                0                0                NxVx + NyVy + NzVz


效果如下：

btw:这里有Planar Shadow的详细介绍，作者Hotball还提出了一个利用Stencil Buffer进行改良的方案。
http://www.csie.ntu.edu.tw/~r89004/hive/shadow/page_1.html