文章来自：一个宝藏公众号【机器学习炼丹术】
在SVM中，将约束问题转化成非约束问题采用到了拉格朗日乘子法。这个文章就讲一下拉格朗日乘子法与KKT约束是怎么回事。本人不是数学科班出身，但是也只能硬着头皮讲一讲了。
从零理解
现在我们要解决这样一个问题：
(x^2y=3)
这个函数距离原点最近的距离是多少。
先画出函数图像：
然后想求出最短距离：
这里的思路就是，做一个以原点为中心的圆形：
不断扩大圆形的半径，直到圆与蓝色的曲线相切：
现在。第一次与(x^2y=3)相交的点就是距离原点最近的那个点：
这个，圆形与曲线相切，且切线既是圆形的切线，也是曲线的相切。
这时候，这个切线的垂线其实也就是我们所说的梯度，也叫做等高线的法线，看下面两个图可能会好理解一些：
那么这个梯度怎么计算呢？先看圆形(f(x,y)=x^2+y^2)的梯度：
再看曲线的梯度计算(g(x,y)=x^2y)的梯度：
在相切的时候，两者的梯度方向都在同一条直线上，可以称之为，成比例，这里用比例系数(lambda)来表示：
所以我们汇总一下所有的已知信息，得到下面的方程组：
可以求解得到：
这个就是拉格朗日乘子法的直观理解。
抽象成数学的形式
我们要解决的问题：
(min {x^2+y^2})
(s.t. x^2y=3)
我们会将约束问题通过拉格朗日乘子法转换成非约束问题：
(min F(x,y)={x^2+y^2+lambda(x^2y-3)})
【为什么可以这样呢？】
如果求极值，偏导数为0。先对上面的公式进行求偏导数：
(frac{partial F(x,y)}{partial x}=2x+lambda 2xy=0)
(frac{partial F(x,y)}{partial y}=2y+lambda x^2=0)
这两个等式与这个等价，唯一的不同就是(lambda)一个是正数一个是负数:
当然，对于(x^2y-3=0)这个条件，我们也可以写成(frac{partial F(x,y,lambda)}{partial lambda})，所以，可以得到这样的一个方程组：
KKT条件
- KKT的英文全称：Karush-Kuhn-Tucker
之前的拉格朗日的约束条件是等值的，现在可以通过KKT条件推广到不等式。因为限制条件往往是不大于，小于这样的不等式，所以KKT才是拉格朗日化约束问题为非约束问题的关键。
对于不等式问题，就是有两种情况：
- 可行解在g(x)<0；
- 可行解在g(x)=0。
可行解在g(x)<0，就表示这个约束条件并没有起到约束效果，有根没有事一个效果（下图中的左图）；可行解g(x)=0,就表示这个约束条件起到作用了，这就表示g(x)与f(x)相切，也就是下图中右边的图。
【g(x)<0的情况】
这种情况下，就是没有限制条件下的情况，其实就是没有约束条件的限制，也就是(lambda=0)的情况，所以我们的等式就是直接求解：
(Delta f(x)=0)
【g(x)=0的情况】
如果是g(x)=0的情况，那也就是约束条件起到作用了，也就意味着(lambda>0)。在这种情况下，存在着:
(Delta f(x) = -lambda Delta g(x))
并且两个函数的扩张的方向相反，所以表明两个g(x)和f(x)的梯度一个是正数，一个是负数。所以这个表示(lambda>0)。
所以综上所述，在这种情况下，我们所有的条件综合起来可以得到，其中(x^*)就是最优解：
- (lambda >=0)
- (lambda g(x^*)=0)
- $ g(x^*) <= 0$
这三个就是KKT条件。