详解时间、空间复杂度（内含彩蛋~~）

目录

• 一、时间复杂度：执行算法所需要的计算工作量
  • （一）时间复杂度的理解
    • 1.时间频度定义
    • 2.（渐进）时间复杂度定义
  • （二）时间复杂度的计算
    • 计算攻略：
    • 常见的算法时间复杂度由小到大排序：
    • 大O表示法推导实例：
      • 1.常数阶 ⇒ O(1)
      • 2.线性阶 ⇒ O(n)
      • 3.平方阶 ⇒ O(n2)
• 二、 空间复杂度：执行这个算法所需要的内存空间
• 三、彩蛋

学习算法我们首先需要清楚的概念就是时间复杂度和空间复杂度
接下来我们就详细讲解一下时间复杂度和空间复杂度，为大家后面的学习打好基础！

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一、时间复杂度：执行算法所需要的计算工作量

（一）时间复杂度的理解

1.时间频度定义

我们需先明白：
一个 算法花费的时间 是与算法中语句的执行次数成正比的
（也就是说一个算法中语句执行次数越多，花费的时间也就越多）

时间频度：T(n)： 一个算法中的语句执行次数，记为T(n)

2.（渐进）时间复杂度定义

T(n)： 算法中基本操作重复执行的次数是问题规模n的某个函数。
f(n)： 某个辅助函数

算法的（渐进）时间复杂度O(f(n))：

若有某个辅助函数f(n),使得当n趋近于无穷大时，T(n)/f (n)的极限值为不等于零的常数，则称f(n)是T(n)的同数量级函数。

记作T(n)=O(f(n)),称O(f(n)) 为算法的渐进时间复杂度，简称时间复杂度。

O(f(n)) 表示方法称为大O表示法

注意： T(n)不同，但时间复杂度可能相同。

（二）时间复杂度的计算

计算攻略：

1. 用常数1代替运行时间中的所有加法常数。

(1) T(n)=n²+7n+6 ⇒ T(n)=n²+7n+1

2. 修改后的运行次数函数中，只保留最高阶项。

(2)T(n)=n²+7n+1 ⇒ T(n)=n²

3. 去除最高项系数

(3)T(n)=n² ⇒ O(n² )

注意：

（1）循环的时间复杂度 = 循环体的复杂度 × 该循环运行次数

（2）单纯的分支结构（不包括在循环结构中）其时间复杂度为O(1)

常见的算法时间复杂度由小到大排序：

常见的算法时间复杂度由小到大依次为：

O(1):常数阶

O(log_an)【O(log₂n)】：对数阶

O(n):线性阶

O(nlog_an)【O(nlog₂n)】：线性对数阶

O(n²):平方阶

O(n³):立方阶

O(n^k):k次方阶

O(2ⁿ):指数阶

随着问题规模n的不断增大，上述时间复杂度越来越大大，算法的执行效率也越来越低

大O表示法推导实例：

1.常数阶 ⇒ O(1)

int n =100;//执行1次
int sum =n*2;//执行1次
System.out println(sum);//执行1次

你可能会问代码一共执行了3次鸭，为什么时间复杂度不是O(3)呢？

这是因为用到了第一条攻略：用常数1代替运行时间中的所有加法常数。

本题中:T(n)=3根据第一条攻略：

(1) T(n)=3 ⇒ T(n)=1

(2) T(n)=1 ⇒ O(1)

2.线性阶 ⇒ O(n)

int i= 0,sum=0;
for(i=0;i<n;i++){//for循环执行n次
sum=2*i;//执行一次for循环此语句执行一次
System.out.println(sum);//执行一次for循环此语句执行一次
}

所以：T(n)=2n

第三条攻略： 去除最高项系数

本例中根据第三条攻略可得：

(1) T(n)=2n ⇒ T(n)=n

(2) T(n)=n ⇒ O(n)

3.平方阶 ⇒ O(n²)

例1：

int i,j=0;
for(i=0;i<n;i++){//执行n次
	for(j=0;j<n;j++){//执行n次
		System.out.println(i + " " + j );
	}
}

所以：T(n)=n²

T(n)=n ² ⇒ O(n²)

例2：

int i,j=0;
for(i=0;i<n;i++){//执行n次
	for(j=i;j<n;j++){//注意j=i
		System.out.println(i + " " + j );
	}
}

当i=0，第二个for循环执行n次
当i=1，第二个for循环执行n-1次
当i=2，第二个for循环执行n-2次
当i=n-1，第二个for循环执行1次

执行总数T(n)=n+(n-1)+(n-2)+……1=+=(n ²+n)

根据第二条攻略、第三条攻略可得：

第二条攻略：修改后的运行次数函数中，只保留最高阶项。
第三条攻略： 去除最高项系数

T(n)=(n ²+n) ⇒ T(n)=n ²

T(n)=n ² ⇒ O(n²)

二、 空间复杂度：执行这个算法所需要的内存空间

空间复杂度：

对一个算法在运行过程中临时占用存储空间大小的量度，记做S(n)=O(f(n))。

n为问题的规模，f(n)为算法所占存储空间的函数。

空间复杂度分类：

O(1)情况：

当算法的存储空间大小固定，与输入规模没有直接的关系时，空间复杂度记作O(1)。

O(n)情况：

当算法分配的空间和输入规模n成正比时，空间复杂度记作O(n)。

三、彩蛋

我将入门算法书中时间复杂度、空间复杂度讲解部分为大家截出来了，有需要的宝宝可以自取。

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