一个奇怪的染色问题

自己瞎想的 idea
尝试用数学方法做，没啥成果，于是写程序爆算了一些数据
先在这里记一下
如果哪位大佬有思路请务必告诉我

题意

有一个立方体，将它的每条棱 \(A_iA_j\) 都染上一个颜色 \(c_{i,j}\) 。

要求满足如下条件：

1. 同一顶点引出的所有棱颜色互不相同。
   即不存在 \(i,j,k(i\ne j,i\ne k,j\ne k)\) 满足 \(c_{i,j}=c_{i,k}\) 。

2. 任意两顶点引出的所有棱的颜色不完全相同。
   令 \(S_i=\{c_{i,j}\mid j\ne i\}\) ，则不存在 \(i,j(i\ne j)\) 使 \(S_i=S_j\) 。

则至少需用多少种颜色？

注：立方体不一定是三维的，维数 \(n\) 可以是任意不小于 2 的整数
例如 \(n=2\) 时即为正方形，答案为 4

目前的成果

设维数为 \(n\) ，颜色数为 \(k\) ，容易得出顶点个数为 \(2^n\) ，棱的条数为 \(n2^{n-1}\) 。
考虑一个顶点 \(A_i\) ，由它引出的棱有 \(n\) 条
这 \(n\) 条棱的染色方案数为 \(C_k^n\) （暂不考虑条件 2 ）
于是 \(k\) 必须满足 \(C_k^n\ge 2^n\) ，否则可直接判定无解。

然后就开始爆算了，，

\(n\)	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11
\(k_{min}\)	4	6	7	8	9	11	12	13	15	16

程序应该没写错。
优化做得不太好，目前算不出 \(n=12\)

顺便画了一下三维和四维的最优方案（之一）

当然，四维立方体是画不出来的，图中是它在三维空间中的投影