学习笔记 SG函数

学习笔记 SG函数

博弈论补的太晚了。

目录

• 学习笔记 SG函数
  • 定义
  • 证明
  • 例题

定义

对于一种公平博弈游戏（博弈状态的先后关系可构成一个拓扑图），构造 (SG(x)) 函数为博弈状态为 (x) 时的一个非负整数值，我们给定其一个值，由下列公式得到：

[SG(u)=egin{cases}0&(vin exttt V)\ exttt{mex}{SG(v)}&( exttt{otherwise})end{cases} ]

以及一个重要的性质（(SG) 定理）：后手能赢，当且仅当 (igoplus_{uin exttt U} SG(u)=0)，否则先手赢。

其中 (v) 是 (u) 可以一步得到的子博弈状态，( exttt V) 是终局，( exttt U) 是起始状态，( exttt{mex}) 指的是集合中第一个未出现的非负整数。

注意这里的多个 (SG(u)) 代表的可能是多个子博弈游戏，例如经典 (nim) 取石子游戏多个石子堆对应的就是多个 (SG(u))。

证明

我们先只讨论起始状态异或和等于 (0) 的情况。

因为终局情况一定是多个子博弈游戏都到了 (SG(v)) ，此时显然 (igoplus SG(v)=0) 满足定理。

所以我们只要证明在任何情况下，不管先手如何走，后手都可以走一步使得异或和等于0。

当一个子博弈游戏被先手从 (SG(u)) 到了 (SG(v)) 出现两种情况，证明如下：

• (SG(v)>SG(u))

  因为v的SG值较大，所以v的子博弈状态一定有一个值为 SG(u) 此时先手走向值为SG(u)的子博弈状态状态即可。

• (SG(v)<SG(u))

  有点麻烦。。。

  令 (SG(u)) 为 (a)，(SG(v)) 为 (b)，原本的状态是 (aoplus a=0) ，然而现在变成了 (aoplus b) ，所以我们只要找到其它博弈状态的 (SG) 函数中有一个数 (c)，将 (c) 变成(coplus aoplus b)，此时原始就变成了 (aoplus(aoplus b)oplus b=boplus b=0)。

  因此只要保证 (coplus aoplus b) 一定要小于 (c)，问题就变成证明这个 (c) 必定存在。

  （(x_i) 表示 (x) 的二进制第 (i) 位）

  我们再令 (a) 和 (b) 最高的不相同的二进制位为 (i)。

  • 若 (a_i=1)，那么因为原来除 (SG(u)) 外的 (SG) 函数异或起来是 (a)，所以必然有一个 (SG) 函数值为 (c)，满足 (c_i=1)，此时 (aoplus b) 的最高非 (0) 位就是 (i)，那么显然有 (coplus aoplus b) 小于 (c)。
  • 若 (a_i=0)，那么 (i) 必然不是 (a) 的最高非位，而其它 (SG) 函数必然有一个 (c)，它的最高非 (0) 位和 (a) 相同，此时 (coplus aoplus b) 最高非 (0) 位是低于 (c) 的最高非 (0) 位。
    upd 2021/05/25 :
    发现假了，第二种情况根本不可能，因为 (b < a)，所以 (a) 和 (b) 的最高不相同的位一定是 (a_i = 1 & b_i = 0)。

如果开始博弈状态异或和不为 (0)，那么先手显然可以走一步使异或和等于 (0)，和上述的方法一样。

(Large{Q.E.D})

例题

这种东西一找一大片吧。。。

实际为了掩盖咕咕咕