bzoj5153&uoj348 【WC2018】州区划分

五十分就是裸的O(3^n)子集dp。

$$f[S]*{w[S]^{p}}=sum_{T in S}{f[T]*{w[S-T]^{p}}}$$ 

然后我们考虑优化这个dp，我们发现这是子集卷积的形式，于是我们就可以用fwt来优化这个dp。

具体的，f[i][S]表示的是S的f值，当且仅当S中1的个数为i，别的f[i][S1]不正确也没有问题，因为我们转移时枚举的是1的个数，所以只有正确的转移会作出正确的贡献。然后就是一个裸的或or异或的fwt。

#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <iostream>
#include <algorithm>
#include <cmath>
#define N 2222222
#define mod 998244353
using namespace std;
int can[N],g[N],inv[N],cnt[N],f[25][N],h[25][N];
int n,m,p,to[25],w[25];
int e=1,head[25],fa[25];
struct edge{
    int v,next;
}ed[2333];
void add(int u,int v){
    ed[e].v=v;ed[e].next=head[u];head[u]=e++;
}
int find(int x){
    return x==fa[x]?x:fa[x]=find(fa[x]);
}
int qp(int a,int b){
    int c=1;
    while(b){
        if(b&1)c=1ll*c*a%mod;
        a=1ll*a*a%mod; b>>=1;
    }
    return c;
}
void UPD(int &a,int b){
    a=(a+b>=mod)?(a+b-mod):(a+b);
}
void IPD(int &a,int b){
    a=(a-b<0)?(a-b+mod):(a-b);
}
bool check(int s){
    if(cnt[s]==1)return 0;
    int a[25],num=0;
    for(int i=1;i<=n;i++)if(s&(1<<i-1)){
        a[++num]=i;
        int now=s&to[i];
        if(!now)return 1;
        if(cnt[now]&1)return 1;
    }
    for(int i=1;i<=num;i++)fa[a[i]]=a[i];
    for(int i=1;i<=num;i++){
        for(int j=head[a[i]];j;j=ed[j].next)if(s&(1<<ed[j].v-1))
            if(find(a[i])!=find(ed[j].v))
                fa[find(a[i])]=find(ed[j].v);
    }
    for(int i=2;i<=num;i++)
        if(find(a[i])!=find(a[1]))return 1;
    return 0;
}
int calc(int s){
    if(!p)return 1;
    int ans=0;
    for(int i=1;i<=n;i++)if(s&(1<<i-1))
        UPD(ans,w[i]);
    if(p==1)return ans;
    return 1ll*ans*ans%mod;
}
void fwt(int *a){
    for(int k=2;k<=(1<<n);k<<=1)
        for(int i=0;i<(1<<n);i+=k)
            for(int j=0;j<k>>1;j++)
                UPD(a[i+j+(k>>1)],a[i+j]);
}

void ifwt(int *a){
    for(int k=2;k<=(1<<n);k<<=1)
        for(int i=0;i<(1<<n);i+=k)
            for(int j=0;j<k>>1;j++)
                IPD(a[i+j+(k>>1)],a[i+j]);
}
int main(){
    scanf("%d%d%d",&n,&m,&p);
    for(int i=0;i<(1<<n);i++)cnt[i]=cnt[i>>1]+(i&1);
    for(int i=1,u,v;i<=m;i++){
        scanf("%d%d",&u,&v);
        to[u]|=(1<<v-1);
        to[v]|=(1<<u-1);
        add(u,v);add(v,u);
    }
    for(int i=1;i<=n;i++)scanf("%d",&w[i]);
    for(int i=1;i<(1<<n);i++){
        can[i]=check(i);
        g[i]=calc(i);
        inv[i]=qp(g[i],mod-2);
    }
    for(int i=1;i<(1<<n);i++)
        h[cnt[i]][i]=can[i]*g[i];
    for(int i=1;i<=n;i++)fwt(h[i]);
    f[0][0]=1;fwt(f[0]);
    for(int i=1;i<=n;i++){
        for(int j=0;j<i;j++)
            for(int k=0;k<(1<<n);k++)
                UPD(f[i][k],1ll*f[j][k]*h[i-j][k]%mod);
        ifwt(f[i]);
        for(int j=0;j<(1<<n);j++)
            f[i][j]=1ll*f[i][j]*inv[j]%mod;
        if(i^n)fwt(f[i]);
    }
    printf("%d
",f[n][(1<<n)-1]);
    return 0;
}