Description
Solution
这题涉及到指数嵌套堆叠,可能可以用欧拉函数解决。
试想一个数(a_i)经过(k)次操作后会变成什么?
[k个c;;
egin{cases}
{c^{c^{a_i}}}
end{cases}
]
我们有扩展欧拉定理,(a,x,p)为任意正整数:
[a^x equiv
egin{cases}
a^{x;mod;varphi(p)+varphi(p)}&xgevarphi(p)\
a^x&x<varphi(p)
end{cases}
mod p
]
记(f(k,p,a))表示(个k个cegin{cases}{c^{c^{a}}}end{cases}mod p)
[egin{aligned}
f(k,p,a)&=c^{c^a; mod;varphi(p);[+varphi(p)]}mod p\
&=c^{f(k-1,varphi(p),a);mod;varphi(p);[+varphi(p)]}
end{aligned}
]
注意后面的([+varphi(p)])要比较(f(k-1,varphi(p),a))与(varphi(p))的相对大小,如何比较呢?由于(varphi)的增长速度远低于一个指数爆炸的函数,所以一旦某一次开始需要(+varphi(p))时,之后就一定都需要加了。我们维护一个flag表示是否需要加。当(f)还比较小的时候(靠近底层),我们可以通过预处理的一些(c)的幂(不模)来判断,那么这一部分就这样解决了。
至多经过(O(log p))次递归后,(p)会变成1,这是一个边界条件,因为此时(f(k,1,a)=0),再多的递归也毫无意义了。这意味着每一个数进行(O(log p))次操作后,它的值就不会再变化了,它的(f)会是一个定值。
我们想到了线段树的经典处理方法:如果这一段还有人未固定,那么就递归计算;否则,这一段根本不需要改变,直接退出。
实现细节较多,我们要省去快速幂的过程,所以做一个10000进制的快速幂预处理。我想了好久才想出(f)的计算代码......
Code
#include <cstdio>
using namespace std;
typedef long long ll;
const int N=50005;
int n,m,MOD,c;
int a[N];
int dphi[100],dcnt;
ll mi[63];
int maxtop;
int mi1[80][10001],mi2[80][10001];
inline int add(int x,int y){return (x+y)%MOD;}
int powc(int x,int id){
int s1=x/10000,s2=x-s1*10000;
return 1LL*mi1[id][s2]*mi2[id][s1]%dphi[id];
}
inline int getPhi(int x){//计算phi(x) O(sqrt(x))
int res=x;
for(int i=2;i*i<=x;i++)
if(!(x%i)){
res-=res/i;
while(!(x%i)) x/=i;
}
if(x!=1) res-=res/x;
return res;
}
inline int ksm(int x,int y,int M){//计算x^y % M
int res=1;
for(;y;x=1LL*x*x%M,y>>=1)
if(y&1) res=1LL*res*x%M;
return res;
}
inline bool check(int x,int p){return (x>maxtop)||(mi[x]>=p);}//检查c^x是否大于等于p
bool calc(int x,int d,int &y){//计算f d=k,p=输入的MOD,a=x
if(d>dcnt) return true;
bool flag=false;
if(x>=dphi[d]) flag=true;
ll last=(x%dphi[d]+(flag?dphi[d]:0));
ll res=powc(last,d-1);
for(int i=d-2;i>=0;i--){
if(!flag) flag|=check(last,dphi[i+1]);
if(flag) res+=dphi[i+1];
last=res;
res=powc(last,i);
}
y=res;
return false;
}
namespace SEG{/*{{{*/
int rt,sz,ch[N*2][2],sum[N*2],last[N*2],dep[N*2];
bool ok[N*2];
inline void pushup(int u){
sum[u]=add(sum[ch[u][0]],sum[ch[u][1]]);
ok[u]=ok[ch[u][0]]&&ok[ch[u][1]];
}
void build(int &u,int l,int r){
u=++sz;
if(l==r){
sum[u]=a[l];
last[u]=0;
ok[u]=false;
return;
}
int mid=(l+r)>>1;
build(ch[u][0],l,mid);
build(ch[u][1],mid+1,r);
pushup(u);
}
void modify(int u,int l,int r,int L,int R){
if(L>R) return;
if(ok[u]) return;
if(l==r){
last[u]=sum[u];
dep[u]++;
if(calc(a[l],dep[u],sum[u])) ok[u]=true;
return;
}
int mid=(l+r)>>1;
if(L<=mid) modify(ch[u][0],l,mid,L,R);
if(mid<R) modify(ch[u][1],mid+1,r,L,R);
pushup(u);
}
int query(int u,int l,int r,int L,int R){
if(L>R) return 0;
if(L<=l&&r<=R) return sum[u];
int mid=(l+r)>>1,res=0;
if(L<=mid) res=query(ch[u][0],l,mid,L,R);
if(mid<R) res=add(res,query(ch[u][1],mid+1,r,L,R));
return res;
}
}/*}}}*/
int main(){
scanf("%d%d%d%d",&n,&m,&MOD,&c);
mi[0]=1;
if(c!=1)
for(maxtop=1;mi[maxtop-1]<=MOD;maxtop++)
mi[maxtop]=mi[maxtop-1]*c;
maxtop--;
dphi[0]=MOD;
for(dcnt=1;;dcnt++){
dphi[dcnt]=getPhi(dphi[dcnt-1]);
if(dphi[dcnt]==1) break;
}
dphi[++dcnt]=1;
for(int k=0;k<=dcnt;k++){
mi1[k][0]=1;
for(int i=1;i<=10000;i++) mi1[k][i]=1LL*mi1[k][i-1]*c%dphi[k];
for(int i=0;i<=10000;i++) mi2[k][i]=ksm(mi1[k][i],10000,dphi[k]);
}
for(int i=1;i<=n;i++) scanf("%d",a+i);
SEG::build(SEG::rt,1,n);
int opt,x,y;
for(int i=1;i<=m;i++){
scanf("%d%d%d",&opt,&x,&y);
if(!opt) SEG::modify(SEG::rt,1,n,x,y);
else printf("%d
",SEG::query(SEG::rt,1,n,x,y));
}
return 0;
}