POJ 矩阵相乘 (随机化算法-舍伍德(Sherwood))

周三的算法课，主要讲了随机化算法，介绍了拉斯维加斯算法，简单的理解了为什么要用随机化算法，随机化算法有什么好处。

在处理8皇后问题的时候，穷举法是最费时的，回朔比穷举好点，而当数据量比较大的时候，如1000皇后问题，穷举的化有1000的1000次方，肯定超时，用随机化算法的思路，先随机的在棋盘上放一部分皇后，再来设计算法，会大大节省时间，使算法性能更加优良。

本篇介绍令一种随机化算法，舍伍德(Sherwood)算法。

题目：

Matrix Multiplication

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You are given three n × n matrices A, B and C. Does the equation A × B = C hold true?

Input：

The first line of input contains a positive integer n (n ≤ 500) followed by the the three matrices A, B and C respectively. Each matrix's description is a block of n × n integers.

It guarantees that the elements of A and B are less than 100 in absolute value and elements of C are less than 10,000,000 in absolute value.

Output：

Output "YES" if the equation holds true, otherwise "NO".

Sample Input

2
1 0
2 3
5 1
0 8
5 1
10 26
Sample Output

YES
Hint

Multiple inputs will be tested. So O(n3) algorithm will get TLE.
Source

POJ Monthly--2007.08.05, qzc

解题思路：

输入3个n*n的矩阵ABC，计算A*B=C是否成立，若是输出Yes，否则输出No。

正常情况，从A的第一行A[0][j]和B的第一列B[i][0]相乘，看是不是等于C[0][0]。依次遍历所有行所有列。判断是否相等，相等继续，不相等直接返回false。

而如果我们用随机化算法的思想，来解决这个问题的时候，随机化一行一列，row col来判断是否和C[row][col]相等。如果不相等，比如A*B=C不满足，false跳出。

        for(i=1;i<=n;i++)
            temp+=A[row][i]*B[i][col];
        if(temp!=C[row][col])
                return 0;

这种随机化算法和拉斯维加斯算法又有点不同，将算法执行的步骤长短，更偏向于一种概率事件，是一种概率算法。

#include <time.h>
#include <stdio.h>
#include <stdlib.h>
#define maxn 500
int A[maxn][maxn];
int B[maxn][maxn];
int C[maxn][maxn];
int n;
 
void input(int c[maxn][maxn])
{
    int i,j;
    for(i=1;i<=n;i++){
        for(j=1;j<=n;j++)
        scanf("%d",&c[i][j]);
    }
}
 
int compared()
{
    int row,col;//随机行数，列数
    int k,i; 
    for(k=1;k<=30000;k++)
    {
        row=rand()%n+1;
        col=rand()%n+1;
        int temp=0;
        for(i=1;i<=n;i++)
            temp+=A[row][i]*B[i][col];
        if(temp!=C[row][col])
                return 0;
    }
    return 1;
}
 
int main()
{
    scanf("%d",&n);
    srand(time(NULL));
    input(A);
    input(B);
    input(C);
    if(compared())
        printf("Yes");
         else
          printf("No");
}

关于随机行数，列数的循环的次数，开小了，担心测不出最终结果，开大了影响效率，大家有没有一些好的建议，欢迎讨论，不当之处，恳请指正。

总结：

LV算法和Sherwood算法的区别，拉斯维加斯算法不一定能得到解，但一旦得到解一定正确，在N皇后问题中，随机放至皇后越来越多，得到正确解的概率越小，但是代码执行的时间也是大大缩小。而舍伍德算法作为一种概率算法，并不受收入数据的大小影响，但得到结果所花的时间，成为了一种概率事件。