hiho一下 第九十七周 数论六·模线性方程组

题目1 : 数论六·模线性方程组

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描述

小Ho：今天我听到一个挺有意思的故事！

小Hi：什么故事啊？

小Ho：说秦末，刘邦的将军韩信带领1500名士兵经历了一场战斗，战死四百余人。韩信为了清点人数让士兵站成三人一排，多出来两人；站成五人一排，多出来四人；站成七人一排，多出来六人。韩信立刻就知道了剩余人数为1049人。

小Hi：韩信点兵嘛，这个故事很有名的。

小Ho：我觉得这里面一定有什么巧妙的计算方法！不然韩信不可能这么快计算出来。

小Hi：那我们不妨将这个故事的数学模型提取出来看看？

小Ho：好！

<小Ho稍微思考了一下>

小Ho：韩信是为了计算的是士兵的人数，那么我们设这个人数为x。三人成排，五人成排，七人成排，即x mod 3, x mod 5, x mod 7。也就是说我们可以列出一组方程：

x mod 3 = 2
x mod 5 = 4
x mod 7 = 6

韩信就是根据这个方程组，解出了x的值。

小Hi：嗯，就是这样！我们将这个方程组推广到一般形式：给定了n组除数m[i]和余数r[i]，通过这n组(m[i],r[i])求解一个x，使得x mod m[i] = r[i]。

小Ho：我怎么感觉这个方程组有固定的解法？

小Hi：这个方程组被称为模线性方程组。它确实有固定的解决方法。不过在我告诉你解法之前，你不如先自己想想怎么求解如何？

小Ho：好啊，让我先试试啊！

提示：模线性方程组

输入

第1行：1个正整数, N，2≤N≤1,000。

第2..N+1行：2个正整数, 第i+1行表示第i组m,r，2≤m≤20,000,000，0≤r<m。

计算过程中尽量使用64位整型。

输出

第1行：1个整数，表示满足要求的最小X，若无解输出-1。答案范围在64位整型内。

样例输入

3
3 2
5 3
7 2

样例输出

23

解答：

一开始没看提示，想的是暴力法，输出满足n个式子的x值，果然提交了，AC不了，超时。赋下超时代码：

#include "iostream"
#define MAX 20000000

using namespace std;

typedef long long LL;

LL m[MAX], r[MAX], n, k;

int main()
{ 
    cin>>n;
    
    if(n<2)
        return -1;
    
    for (int i = 0; i<n; i++)
        cin >> m[i] >> r[i];
    
        for(int i=0;i<MAX;i++){
            k = 0;
            for (int j = 0; j < n; j++){
                if(i%m[j]==r[j]) 
                    k++;
            }
            if (k == n){
                cout << i << endl;
                system("pause");
            }
        }    
   } 

期间还出现了个小问题，定义超大数组的时候提示栈溢出。，如果放在main函数里面，栈会overflow。

因为局部变量存在栈上，一般大小2m，所以会溢出，，，定义成全局变量或static的话，就ok了，大小由系统决定。

AC代码：

#include "iostream"
#define MAX 20000000

using namespace std;

typedef long long LL;

LL m[MAX], r[MAX], n ;

LL gcd(LL a, LL b){
    if (b == 0)
        return a;
    return gcd(b, a%b);
}

void extend_gcd(LL a, LL b, LL &x, LL &y){
    if (b == 0){
        x = 1;
        y = 0;
        return ;
    }

    LL x1, y1;
    extend_gcd(b, a%b, x1, y1);
    x = y1;
    y = x1 - (a / b)*y1;
}

LL Solve()
{
    LL M = m[1], R = r[1], d, k1, k2, c;
    for (int i = 2; i <= n; i++)
    {
        d = gcd(M, m[i]);
        c = r[i] - R;
        if (c % d)
            return -1;                          // 无解的情况
        extend_gcd(M / d, m[i] / d, k1, k2);
        k1 = (c / d*k1) % (m[i] / d);           // 计算x = m[1] * k[1] + r[1]
        R = R + k1*M;                           // 求解lcm(M, m[i])
        M = M / d*m[i];                         // 求解合并后的新R，同时让R最小
        R %= M;
    }
    if (R < 0)
        R = R + M;
    return R;
}

int main()
{
    cin >> n;

    for (int i = 1; i <= n; i++)
        cin >> m[i] >> r[i];
    cout << Solve() << endl;

    system("pause");
}