loj2541 「PKUWC2018」猎人杀

https://loj.ac/problem/2541

自己是有多菜啊，10天前做的题，当时还是看了题解，还让NicoDafaGood同学给我讲了一下。

而我现在忘得一干二净，一点都想不起来了……

主要是当时听懂了就打了，没有总结啊。

我们发现，我们设集合$A$的$w$之和是$S_A$

那么一个集合$A$在1之后死的概率是$frac{w_1}{S_A+w_1}$。

为什么呢。

虽然每次选下一个会死的人，是从没死的人中选，但是实际上，也可以是所有人中选，如果选到了死了的人就继续选。

记得很久以前谁讲过，其实这道题，换一种说法是，

一个序列，有$w_i$个$i$，把这一共$sum w$个数随机排列，第$i$个人死的时候是$i$序列里第一次出现的位置。

问第一个人最后死的概率。

或许有点抽象，我们换成数学方式来说：

设$P_i$是下一个死的是第$i$个人的概率

那么$P_i=frac{w_i}{sum w-S_D}$，其中$D$是死了的人的集合。

令$A=sum w,B=S_D$，

把式子变换一下，我们可以得到$P_i=frac{B}{A} P_i + frac{w_i}{A}$，

就是说有$frac{B}{A}$的可能，我们这次做完之后$i$还没死，相当于我们攻击到了已死的人。

那么集合$A$都在1之后死的概率这样算：

egin{aligned}
P &= sumlimits_{i = 0}^{infty} (1 - frac{S_A + w_1}{sum w})^{i} frac{w_1}{sum w} \
&= frac{w_1}{sum w}sumlimits_{i = 0}^{infty} (1 - frac{S_A + w_1}{sum w})^{i} \
&= frac{w_1}{sum w} imes frac{1}{1 - 1 + frac{S_A + w_1}{sum w}} \
&= frac{w_1}{S_A + w_1}
end{aligned}

接下来我们就需要枚举在1死之后的人的集合的$S$，就是$w$和，然后容斥。

用分治NTT就可以了。

诶，差点又忘了总结。

主要是，算1是最后死的概率不好算，但是算一个人是在一个集合中最先死的概率好算。

很容易想到容斥一下，然后做背包这玩意可以用NTT，维护一个堆，每次用最小的那两个合并

然后我们发现$sum w$很小，也非常让人舒服。

//Serene
#include<algorithm>
#include<iostream>
#include<cstring>
#include<cstdlib>
#include<cstdio>
#include<cmath>
#include<vector>
#include<set>
using namespace std;
#define ll long long
#define db double
#define For(i,a,b) for(int i=(a);i<=(b);++i)
#define Rep(i,a,b) for(int i=(a);i>=(b);--i)
const int maxn=1e6+7;
const ll mod=998244353,PR=3;
ll n,w[maxn],A[maxn],B[maxn],len,l;

char cc;ll ff;
template<typename T>void read(T& aa) {
	aa=0;cc=getchar();ff=1;
	while((cc<'0'||cc>'9')&&cc!='-') cc=getchar();
	if(cc=='-') ff=-1,cc=getchar();
	while(cc>='0'&&cc<='9') aa=aa*10+cc-'0',cc=getchar();
	aa*=ff;
}

vector<ll> o;

struct Node{
	int len; vector<ll> P;
	Node(int len,vector<ll> P):len(len),P(P){}
	bool operator < (const Node& b) const{return len<b.len;}
};

multiset<Node> G;
multiset<Node>::iterator it1,it2;

ll qp(ll x,ll k) {
	ll rs=1;
	while(k) {
		if(k&1) rs=rs*x%mod;
		k>>=1; x=x*x%mod;
	}
	return rs;
}

ll finv(ll x) {return qp(x,mod-2);}

ll qp1(ll x,ll k) {
	if(k<0) return qp(finv(x),-k);
	return qp(x,k);
}

void Rader(ll F[],ll len) {
	for(int i=1,j=len/2,k;i<len-1;++i) {
		if(i<j) swap(F[i],F[j]);
		k=len>>1;
		while(j>=k) {j-=k;k>>=1;}
		if(j<k) j+=k;
	}
}

void FFT(ll F[],ll len,ll on) {
	Rader(F,len);
	for(int h=2;h<=len;h<<=1) {
		ll wn=qp1(PR,(mod-1)*on/h);
		for(int j=0;j<len;j+=h) {
			ll w=1;
			for(int i=j;i<j+h/2;++i) {
				ll u=F[i],v=F[i+h/2]*w%mod;
				F[i]=(u+v)%mod;
				F[i+h/2]=(u-v+mod)%mod;
				w=w*wn%mod;
			}
		}
	}
	ll x=finv(len);
	if(on==-1) For(i,0,len) F[i]=F[i]*x%mod;
}

int main() {
	read(n); 
	For(i,1,n) read(w[i]),w[0]+=w[i];
	For(i,2,n) {
		o.clear(); o.push_back(1);
		For(j,1,w[i]-1) o.push_back(0);
		o.push_back(mod-1);
		G.insert(Node(w[i],o));
	}
	while(G.size()>1) {
		it1=it2=G.begin(); ++it2;
		l=it1->len+it2->len;
		for(len=1;len<=l;len<<=1);
		For(i,0,it1->len) A[i]=it1->P[i];
		For(i,0,it2->len) B[i]=it2->P[i];
		G.erase(G.begin()); G.erase(G.begin());
		FFT(A,len,1); FFT(B,len,1);
		For(i,0,len) A[i]=A[i]*B[i]%mod;
		FFT(A,len,-1);
		o.clear(); o.reserve(l+1);
		o.assign(&A[0],&A[l+1]);
		G.insert(Node(l,o));
		For(i,0,len) A[i]=B[i]=0;
	}
	ll ans=0; it1=G.begin();
	For(i,0,w[0]-w[1]) ans+=w[1]*finv(i+w[1])%mod*it1->P[i]%mod;
	printf("%lld
",ans%mod);
	return 0;
}