Shone.Math开源系列2
实数类型（含分数和无理数）的实现
作者：Shone
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摘要: 计算机数值计算存在输入进制误差、计算过程的分数和无理数运算误差，是很多编程开发的痛点所在。开源项目Shone.Math提供了统一的实数类型Real，支持分数和无理数计算，做到精度、性能和存储的各方面平衡，可以消除输入进制误差和分数计算误差，大幅减少无理数的计算过程误差。
Shone.Math是一个支持Math<T>泛型数值计算和Real实数运算（浮点数、分数、PI,E,Log,Exp等无理数）的轻量级基础数学库。该项目开源地址https://github.com/shonescript/Shone.Math，是本人把多年代码积累正式转向.NET 5的第一个开源项目，请大家多多支持了。
本系列博客上个章节详细介绍了Shone.Math的Math<T>的泛型实现，全面支持了系统数值类型。有评论提到了相关数据精度话题，因此今天就把Shone.Math的特色—“实数运算”提前进行介绍。
一、数值计算之殇
大家在编程过程中其实不断在跟各种数值类型打交道，为什么没有可以“一统江湖”的数值类型？目前还真没有！
很多动态语言直接使用double(64位二进制浮点数)作为唯一数值，然并卵，立马就会碰到下面经典的翻车案例，不信你打开编辑器测试下面公式：
0.1+0.2 竟然不等于 0.3，而是等于0.30000000000000004
如果使用整数类型int或long，碰到除法5/2竟然等于2，那更翻车翻的四脚朝天，因此一般通用计算必须采用浮点数就是这个道理，有误差大家都知道，也就将就将就吧。
二、数值误差难点
在有限的时间和空间约束下，计算机数值计算存在误差主要在于三个方面：
（1）输入时进制表达误差：前面的0.1是十进制小数，用二进制浮点数表示会是个无限循环形式，只能截除尾数导致误差。这是最无奈的，一输入就是不精确。那么使用decimal(128位十进制浮点数)就没有这个问题，但是十进制常规CPU不支持，计算速度慢十几倍，大家也不大愿意用，除了金融系统实在没办法。
（2）计算过程的分数运算误差：除法运算可能产生不可规约分数，用小数点表达就是无限循环形式，必须截除尾数，上面的进制转换误差本质上也是分数导致的问题。该问题采用decimal十进制浮点数也没用，只有使用分数形式才能准确表达，那么需要增加一倍存储和接近四倍计算时间的开销。
（3）计算过程的无理数运算误差：类似PI、E、Sqrt、Log、Exp、Sin、Cos、等运算，都可能产生无理数，用小数表达就是无限不循环的形式，真是不死不休，一辈子也算不完！那些超算中心专门为了计算PI都使用高能计算机，还是算不完，这是用啥进制都没用，用分数也不行。这也是分数表达不受待见的原因，你搞半天，碰到无理数运算，误差立马要算总账，没法控制。
无理数运算随时存在，目前还没有很好的解决方案，多数只能采用更高精度的浮点数如quad(128位二进制浮点数)、甚至bigfloat(可指定任意位数精度的二进制浮点数)，但带来存储和计算时间增加的开销也很大。
三、Shone.Math实数解决方案
Shone.Math实数有针对性解决了大部分上述问题，填了很多坑，尽量做到易用性、性能等各方面平衡。各位有兴趣可以到开源项目地址，下载dll试用或代码研究一下，有BUG、问题或建议可以在上面直接提出来，也可以pull参与项目代码完善和实现。
Shone.Math实数把数值分为几类，并通过类型派生进行表达和计算重载：
（1）可二进制有效表达的浮点数：结果值是有限不循环的二进制整数或小数，可使用1个double数值（如2.5r，与常规数值相同），放在基类Real中进行表达和计算；
（2）分子分母均可二进制有效表达的分数：结果值是无限循环的二进制浮点数，需要采用2个double数值的分数形式（如35r，采用反斜杠表示分子分母是一个整体），放在派生类Ration中进行表达和计算；
（3）可间接包含分数系数的各类无理数：结果值是无限不循环的二进制浮点数，但是可以针对常用的部分无理数采用专门的间接表达形式如下，基类为Irration，每个间接无理数都采用2个double数值的分数形式。
a）PI无理数：IrrationPI，如35pi，间接表示3/5*PI的计算值；
b）E无理数：IrrationE，如35e，间接表示3/5*PI的计算值；
c）Sqrt无理数：IrrationSqrt，如35sqt，间接表示sqrt(3/5)的计算值；
d）Sqrd无理数：IrrationSqrd，如35sqd，间接表示(3/5)*(3/5)的计算值；
e）Xp无理数：IrrationXp，如35xp，间接表示pow(10,3/5)的计算值；
f）Exp无理数：IrrationExp，如35exp，间接表示pow(E,3/5)的计算值；
g）Pow无理数：IrrationPow，如35pow，间接表示pow(3,5)的计算值；
h）Log无理数：IrrationLog，如35ln，间接表示底数为E的ln(3/5)计算值；
i）Log10无理数：IrrationLog10，如35lg，间接表示底数为10的lg(3/5)计算值；
j）Logx无理数：IrrationLog，如35log，间接表示底数为3的log(3, 5)计算值；
注意，上述有些间接无理数是互补运算（如sqrd与sqrt、xp与log10、exp与log等），如果两个一起会消解，从而保持计算过程的精确性。
（4）其他无法间接表达的无理数：在计算过程中只要碰到这种类型，比如Sin、Cos三角函数等计算结果还是无理数时只能截断尾数，转化为第一类可二进制有效表达的浮点数，仍是Real表达。
四、Shone.Math实数解决问题
Shone.Math的Real实数类型设计和实现上尽量做到精度、性能和存储各方面的平衡考虑，在有限的时间和空间内，可以有效减少计算机数值计算误差。
（1）消除了输入时进制表达误差：0.1将被转化为110r的分数表示，没有进制转换问题。
（2）消除了计算过程的分数运算误差：支持纯正的分数运算也没有误差。
（3）减少计算过程的无理数运算误差：大量常用的PI、E、Sqrt、Log、Exp等无理数运算采用间接形式表达，直到实在无法间接表达时再截尾处理产生误差，但总体上将大大减少常规计算的总体误差。
当然无理数运算误差不可能彻底解决，Shone.Math只是提出了一个可行的实现方法，具体好坏还有待在实际应用中考证。
五、Shone.Math实数Real使用方法
Shone.Math只有一个dll文件，除了.NET5系统外无任何外部依赖。注意：Shone.Math支持.NETCore3.1/5.0以上版本，一方面是拥抱未来向前看，另一方面是开始时发现.NET4和.NET5差好多内容，如MathF类,Math.Asinh,Acosh,Atanh,还有各种Span<T>,Memory<T>等高级类型，这也符合.NET5一统江湖的趋势。
1、安装Visual Studio 2019
更新到最新版，在选项设置中打开.net 5 preview支持。
2、下载nuget包或github代码
Nuget包：https://www.nuget.org/packages/Shone.Math/1.0.7
源代码：https://github.com/shonescript/Shone.Math/releases
3、引用nuget包或Shone.Math.dll到你的项目中
4、添加命名空间using Shone;
5、愉快地使用实数常量、方法
using Shone; // import Shone namespace
var d = Real.PI*3; // result is 3pi of IrrationPi
var x = 5.ToReal().Pow(3); // write in dot style
var ds = new double[]{5, 6, 7}.ToReal().Pow(3); // calculate array easily
6、Real也支持作为Math<T>计算
7、注意：Real只有基类对外暴露方法，其他派生类只能在计算过程中自动产生，比如进行Sqrt()时，如果结果可以间接表达，就会产生如35sqrt之类的IrrationSqrt无理数，使用时可以体会一下。
六、Real类型的不足之处
前面也说了，Shone.Math的Real类型解决了输入和过程的分数误差，但没有彻底消除无理数误差，只是进行推迟和消解，要进行等值判断时其精度还只能与double类似。
Real类型设计为class，对大量数值计算而言，会产生堆上内存分配和相关GC，对性能有影响。我最早采用的是struct，但需要1个计算结果、2个double分子分母、还有1个byte的标记，占用存储太大，而且有好多判断，不容易调试。最终经过权衡使用现在的方案。
七、小结
基于.NET 5的开源项目Shone.Math，通过各种精巧实现，提供了统一的泛型数值计算静态类Math<T>和实数类型Real，为开发各类自定义数值、几何、空间、公式解析等泛型和高精度数值应用打下了坚实基础。本系列下一章节将介绍Shone.Math的一些.NET5专用高级特性如ref, Span, Memory的泛型数值计算扩展。
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