【XSY2429】【BZOJ4361】isn（DP+树状数组）

(Description)

题目描述

给出一个长度为(n)的序列(A(A_{1},A_{2}...A_{n}))。如果序列(A)不是非降的，你必须从中删去一个数，

这一操作，直到(A)非降为止。求有多少种不同的操作方案，答案模(10^9+7)。

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(Input)

第一行一个整数(n)。

接下来一行(n)个整数，描述(A)。

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(Output)

一行一个整数，描述答案。

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(Sample) (Input)

4
1 7 5 3

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(Sample) (Output)

18

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(Hint)

(1<=N<=2000)

(a_{i})没超(long) (long)就对了

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(Source)

练习题　树3-树状数组

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思路

我们看到这道题：求有多少种不同的操作方案，答案模(10^9+7)

我们首先设(sum[i])，表示长度为(i)的非降序列的全部数量

我们考虑对于每一个(sum[i])

因为每一个长度为(i)的非降序列，它都要经过删掉另外(n-i)个点达到，另外(n-i)个点也是无序的，所以长度为所贡献答案为(sum[i])

接着，我们需要考虑一个情况：对于每个长度为(i)的非降序列，可能是通过长度为(i+1)的非降序列减掉一个数得到的，但是题目要求这一操作，直到(A)非降为止，所以这种情况是不合法的，我们需要把它减掉

那减掉多少呢

我们考虑长度为(i+1)的非降序列的贡献答案为(sum[i+1]*(n-i-1)!)，然后在这(i+1)个数中选择一个数删掉得到长度为(i)的序列，所以一共需要减掉(sum[i+1]*(n-i-1)!*(i+1))

于是答案(ans=sum_{i=1}^nsum[i]*jc[n-i]-sum[i+1]*jc[n-i-1]*(i+1))

上式的(jc[i])表示(i!)，可以通过(O(n))预处理出来

接着，(sum[i])可以通过十分简单的(dp)处理出来，设(dp[i][j])表示以第(i)个数结尾，长度为(j)的方案数

则(sum[j]=sum_{i=1}^ndp[i][j])

然后，我们处理(dp)数组的时候，可以通过树状数组优化处理(dp)的过程

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代码

#include<bits/stdc++.h>
#define lowbit(x) (x&(-x))
#define int long long
using namespace std;
const int N=2010,mod=1e9+7;
int n;
int p[N],a[N];
int dp[N][N];
int c[N][N];
int sum[N];
int jc[N];
void add(int len,int x,int y)
{
	for(;x<=n;x+=lowbit(x))c[len][x]=(c[len][x]+y)%mod;
}
int ask(int len,int x)
{
	int out=0ll;
	for(;x;x-=lowbit(x))out=(out+c[len][x])%mod;
	return out;
}
signed main()
{
	scanf("%lld",&n);
	//离散化处理
	for(int i=1;i<=n;i++)scanf("%lld",&p[i]),a[i]=p[i];
	sort(p+1,p+n+1);
	int len=unique(p+1,p+n+1)-p-1;
	add(0,1,1);
	//树状数组优化dp
	for(int i=1;i<=n;i++)
	{
		a[i]=lower_bound(p+1,p+len+1,a[i])-p;
		for(int j=i;j>=1;j--)
		{
			dp[i][j]=ask(j-1,a[i])%mod;
			add(j,a[i],dp[i][j]);
		}
	}
	for(int i=1;i<=n;i++)
		for(int j=1;j<=n;j++)
			sum[j]=(sum[j]+dp[i][j])%mod;
	//处理阶乘
	jc[0]=1;//注意这里一定要设jc[0]=1，要不然当下面统计答案是当i=n-1时，答案会为0
	for(int i=1;i<=n;i++)jc[i]=jc[i-1]*i%mod;
	int ans=(ans+sum[n])%mod;//当i=n时，不能访问到jc[n-i-1]，所以预先处理
	for(int i=1;i<n;i++)ans=(ans+sum[i]*jc[n-i]%mod-sum[i+1]*jc[n-i-1]%mod*(i+1)%mod+mod)%mod;
	printf("%lld",ans);
	return 0;
}