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  • Bzoj1597 [Usaco2008 Mar]土地购买

    Time Limit: 10 Sec  Memory Limit: 162 MB
    Submit: 4005  Solved: 1460

    Description

    农夫John准备扩大他的农场,他正在考虑N (1 <= N <= 50,000) 块长方形的土地. 每块土地的长宽满足(1 <= 宽 <= 1,000,000; 1 <= 长 <= 1,000,000). 每块土地的价格是它的面积,但FJ可以同时购买多快土地. 这些土地的价格是它们最大的长乘以它们最大的宽, 但是土地的长宽不能交换. 如果FJ买一块3x5的地和一块5x3的地,则他需要付5x5=25. FJ希望买下所有的土地,但是他发现分组来买这些土地可以节省经费. 他需要你帮助他找到最小的经费.

    Input

    * 第1行: 一个数: N

    * 第2..N+1行: 第i+1行包含两个数,分别为第i块土地的长和宽

    Output

    * 第一行: 最小的可行费用.

    Sample Input

    4
    100 1
    15 15
    20 5
    1 100

    输入解释:

    共有4块土地.

    Sample Output

    500

    HINT

    FJ分3组买这些土地: 第一组:100x1, 第二组1x100, 第三组20x5 和 15x15 plot. 每组的价格分别为100,100,300, 总共500.

    Source

    斜率优化DP

    设总花费为f[]。

    从j+1到i一起买,f[i]=min(f[i],f[j]+maxw*maxw)

    如果实现处理长宽h和w使得它们具有单调性,就不需要算maxw和maxh。

    显然如果一块土地长宽都小于相邻一块土地,可以不需要考虑它。

    先将土地按长x从小到大排序,然后维护宽y单调递减的序列。在最后得到的序列中决策

    f[i]=min(f[i],f[j]+x[i]*y[j+1])

    假设有两个断点k和j (k<j),若j处决策比k优,可以化简出(f[j]-f[k])/(y[k+1]-y[j+1])<x[i]

    其中(f[j]-f[k])/(y[k+1]-y[j+1])可以看作直线的斜率,它越小,j越比k优

    为了让斜率尽量小,用单调队列维护一个斜率单调递增的序列(下凸包),进行决策:

     1 /*by SilverN*/
     2 #include<iostream>
     3 #include<algorithm>
     4 #include<cstring>
     5 #include<cstdio>
     6 #include<cmath>
     7 #define LL long long
     8 using namespace std;
     9 const int mxn=50010;
    10 int read(){
    11     int x=0,f=1;char ch=getchar();
    12     while(ch<'0' || ch>'9'){if(ch=='-')f=-1;ch=getchar();}
    13     while(ch>='0' && ch<='9'){x=x*10+ch-'0';ch=getchar();}
    14     return x*f;
    15 }
    16 int n;
    17 struct squ{
    18     LL x,y;
    19 }a[mxn];
    20 bool operator < (const squ a,const squ b){
    21     return (a.x<b.x || (a.x==b.x && a.y<b.y));
    22 }
    23 int cnt=0;
    24 int q[mxn],hd,tl;
    25 LL f[mxn];
    26 double low(int x,int y){
    27     return (double)(f[y]-f[x])/(a[x+1].y-a[y+1].y);
    28 }
    29 int main(){
    30     n=read();
    31     int i,j;
    32     for(i=1;i<=n;i++){
    33         a[i].x=read();a[i].y=read();
    34     }
    35     sort(a+1,a+n+1);//得到x坐标单增的序列 
    36     for(i=1;i<=n;i++){
    37         while(cnt && a[cnt].y<=a[i].y)cnt--;
    38         a[++cnt]=a[i];//得到y坐标单增的序列 
    39     }
    40     hd=1;tl=1;
    41     for(i=1;i<=cnt;i++){
    42         while(hd<tl && low(q[hd],q[hd+1])<a[i].x)hd++;
    43         int t=q[hd];
    44         f[i]=f[t]+a[t+1].y*a[i].x;
    45         while(hd<tl && low(q[tl],i)<low(q[tl-1],q[tl]))tl--;
    46         q[++tl]=i;
    47     }
    48     printf("%lld
    ",f[cnt]);
    49     return 0;
    50 }
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  • 原文地址:https://www.cnblogs.com/SilverNebula/p/6231390.html
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