CF773F

CF773F [* hard]

给定 \(N\) 和 \(W\)，求解有多少个严格单调递增序列 \(a\) 满足 \(a_n\le W\)，长度 \(\le N\) 且满足如下约束：

设 \(g\) 为 \(\gcd(a_1, a_2...a_n)\)，\(x\) 为 \(a_n/g-n\)，\(y\) 为 \(a_n-n\)，\(z\) 为 \(a_n/g\)，则有 \(x\) 与 \(y\) 和 \(z\) 在模 \(2\) 意义下不相同。

\(\rm Sol:\)

不难注意到 \(a_n\) 为偶数，\(g\) 为 \(2^k\)，此时 \(a_n/g\) 为奇数，同时 \(n\) 为奇数。

不妨暴力枚举 \(2^k\)，保证 \(a_n\) 可以表示为 \((2m+1)\times 2^k\)，同时前 \(1\sim n-1\) 个位置每个位置的权值都应该小于 \(2m+1\)，但是实际上应该是 \(k\times 2^k\)

注意到系数至少为 \(1\)，所以首项被强制设为 \(1\)

考虑这个序列的差分数组，我们在开头补一个 \(1\)，那么接下来有 \(n-1\) 个位置，权值上界为 \(2m\)，相当于在 \(n-1\) 个位置中分配至多 \(2m\) 个权值，同时由于需要严格单调递增，我们可以先给每个位置分配 \(1\) 的权值，对于剩余的，我们等价于给 \(n\) 个位置分配 \(2m+1-n\) 个权值，可以考虑 Dp，\(f_{i,j}=\sum_{k\le j} f_{i-1,k}\)，于是得到计算为 \(\frac{1}{(1-x)^{n}}[x^{2m+1-n}]\)，即 \(\binom{2m}{2m+1-n}\)

于是可以得到答案的计算式：

\[\sum_{k=1}^{\infty} [2^k\le W] \sum_{n=1}^{N} [n 为奇数]\sum_{j=0}^{W/2^k-1}[j ~\textrm{ is~even}] \binom{j}{j+1-n} \]

然而模数不是质数，而且非常的小，这意味着我们甚至无法得到逆元...

稍微变形一下成：

\[\sum_{k=1}^{\infty} [2^k\le W] \sum_{n=1}^{N} [n 为奇数]\sum_{j=0}^{W/2^k-1}[j ~\textrm{ is~even}] \binom{j}{n-1} \]

\[\sum_{k=1}^{\infty} [2^k\le W] \sum_{n=0}^{N-1} [n 为偶数]\sum_{j=0}^{W/2^k-1}[j ~\textrm{ is~even}] \binom{j}{n} \]

交给某些高级科技尝试了一下，发现没有办法计算，所以没办法化简，没办法直接计算，就只能递推/Dp 来解决了。。。

然而不好做，我们还是回来吧，考虑所求实际上是这个：

长度为 \(n\) 的序列，其长度为奇数，单调递增，每个元素的取值在 \([1,m]\) 中取，最后一个元素大小为奇数。

其实是在 \([1,m]\) 中选出 \(n\) 个元素，且最大值为奇数的方案数。

设 \(f(a,0/1)\) 为在 \([1,a]\) 中选数，最大值为奇/偶的方案数的生成函数。请注意需要保证 \(x^0\) 前面系数为 \(0\)

考虑通过倍增得到 \(m\)：

\[f(2a,0)=f(a,0)+(f(a,0)+f(a,1)+1)\times f(a,...) \]

表示可能都在 \([1,a]\) 内，可能都在 \([a+1,2a]\) 内，可能由跨越部分组成。

\[f(a+1,0)=f(a,0)+[(a+1) \textrm{~is~even}]x(f(a,0)+f(a,1)) \]

没了。