UR2 树上 GCD

【UR #2】树上 GCD

给定一棵树，用 ( extrm{dist}(x,y))，根节点为 (1)

对于每个 (i) 输出，求有多少对 ((u,v)) 满足 (f(u,v)=i)

其中 (x= extrm{LCA}(u,v),f(u,v)=gcd( extrm{dist}(u,x), extrm{dist}(v,x)))

(nle 2 imes 10^5)

Solution

先转换为至少，然后枚举 ( m LCA) 为 (x)，对此树进行长链剖分，对于每个点分别统计贡献：

1. 轻儿子的贡献。
2. 轻儿子 + 重儿子的贡献。

Part 1 通过经典的容斥解决，计算至少的部分通过调和级数保证复杂度，总体复杂度为 (mathcal O(nlog n))

对于 Part2，我们设轻儿子中最长路径为 ( extrm{mx})，则显然可以被贡献的约数 (d) 不超过 ( extrm{mx})，且 (sum extrm{mx}le n)

于是可以枚举 (d) 并考虑统计答案，这里根号分治：

• 若 (dge sqrt{n})，则暴力枚举 (kd) 即 (d) 的倍数。
• 否则预处理。

其中第二部分如果在模 ({2,3,4...sqrt{n}}) 意义下考虑是难以解决的，我们不妨考虑设 (f_{x,d}) 表示 (x) 子树内所有距离 (x) 为 (d) 的倍数的点的个数，则显然我们可以枚举 (x) 的重儿子 (u) 的所有 (d) 级儿子并统计 (f_{v,d}) 的和即可。

反过来，一个 (f_{v,d}) 可以贡献至其 (d) 级祖先处（需要特判掉轻儿子的情况）

我们的瓶颈在于计算点 (x) 的 (d) 级祖先，不难注意到 (d) 为 (1sim sqrt{n}) 所以可以直接预处理。

总体复杂度 (mathcal O(nsqrt{n}))

空间复杂度乍一看是 (mathcal O(nsqrt{n})) 的，然而是可以做到 (mathcal O(n)) 的，空间开销来源于 (dle sqrt{n}) 的 Part，逐个 (d) 解决即可，空间复杂度即降低为 (O(n))

调试细节：

1. 注意长链剖分的时候上界对应 <
2. 添加 (d) 级祖先贡献时的条件为 (d-1) 级不为轻链顶端。

为啥我把块大小设为 (n^{frac{1}{4}}) 跑得最快啊，想不通。