乘法逆元

乘法逆元

定义：如果一个线性同余方程 ax ≡ 1 ( mod b )，则称 x 为 a mod b 的逆元，计做a^(-1) .只有两个数互素的时候才有乘法逆元，两个数不互素是没有乘法逆元的。

用途：乘法逆元一般用于求解解决模意义下分数值的问题。

乘法逆元可以通过多种方法求得，下面介绍几种方法求乘法逆元。

<1.扩展欧几里德求逆元

exgcd(扩展欧几里德算法)求乘法逆元，原理同求解线性同于方程一样，将题目转化为：ax + by =1,求x,上代码：

void Exgcd(ll a, ll b, ll &x, ll &y) {
    if (!b) x = 1, y = 0;
    else Exgcd(b, a % b, y, x), y -= a / b * x;
}
int main() {
    ll x, y;
    Exgcd (a, p, x, y);
    x = (x % p + p) % p;
    cout << x << endl;		 //x是a在mod p下的逆元
}

<2.快速幂求逆元

原理：若p为素数，则根据费马小定理有： (a^{p - 1} ≡ 1(mod p));即 (a^{p - 2})就是a的乘法逆元

若a,p互素，则根据费马小定理：(a^{φ(p)} ≡ 1(mod p));(费马小定理的一般形式)，即(a^{φ(p) - 1})就是a的乘法逆元。

这样参考快速幂和欧拉函数的模板就能求出逆元了。

❤️.线性求逆元

如果要求很多的话，上面两种方法就会显得很慢，很可能会超时，所以下面来介绍一下如何线性求逆元：

线性求逆元顾名思义，其时间复杂度为 O(n) ，其通过递推的思想解得区间内的所有逆元，x显然 inv[1]=1; inv[i]=−(p/i)∗inv[p%i];下面为模板代码：

inv[1] = 1;
for (int i = 2; i <= n; ++i) 
    inv[i] = (long long)-(p / i) * inv[p % i] % p;

但是有些情况下上面代码会出现负数，所以我们可以将其修改为只输出正整数：

inv[1] = 1;
for (int i = 2; i <= n; ++i) 
    inv[i] = (long long)(p - p / i) * inv[p % i] % p;