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  • 素数判定方法,方法持续更新...

      素数定义:质数定义为在大于1的自然数中,除了1和它本身以外不再有其他因数。

      方法一(暴力法):素数问题变化莫测,但万变不离其宗。素数问题最核心的就是如何判断一个数是否是素数。对于判断一个数m是否是素数,最原始的方法就是按照素数的定义,试除2开始到m-1的整数,如果无一例外地都不能整除,则该数一定是素数。实现程序如下:

    //============================
    //判断是否是素数1
    //============================
    #include <iostream>
    using namespace std;
    
    int main() {
        cout << "please inpout a number.";
        int m;
        cin >> m;
        for (int i = 2; i < m; ++i)
            if (m%i == 0) {
                cout << m << " isn't a prime
    ";
                return 1;
            }
        cout << m << " is a prime
    ";
        return 0;
    }

      方法二(暴力法改进):我们知道如果一个数有因子的话,那么在它的平方根数以内就应该有,否则就没有因子。例如66的平方根在8与9之间,因为66不是素数,,则它一定有比8还小的因子,我们知道66的因子是2、3、6等。

      现在我们就可以将m试除2到√m的整数,如果无一例外地都不能整除,则该数一定是素数。实现程序如下:
    //============================
    //判断是否是素数法2
    //============================
    #include <iostream>
    using namespace std;
    int main() {
        cout << "please inpout a number.";
        int m;
        cin >> m;
        double sqrtm = sqrt(m*1.0);
        for (int i = 2; i <= sqrtm; ++i)
            if (m%i == 0) {
                cout << m << " isn't a prime
    ";
                return 1;
            }
        cout << m << " is a prime
    ";
        return 0;
    }

      方法三(暴力法进一步改进):现在举个例子,判断102是否是素数,本来要从2试除到10。但事实上,中间的4、6、8、10也都无须试,只需要试除2、3、5、7。直接来说,就是只需要试除2到√m之间的所有素数即可。而所有素数(除了2和3)都满足6*i-1或6*i+1(i=1、2、3...)。那么代码又可以改进,如下:

    //============================
    //判断是否是素数法3
    //============================
    #include <iostream>
    using namespace std;
    int main() {
        cout << "please inpout a number.";
        int m;
        cin >> m;
        //两个较小数另外处理
        if (m == 2 || m == 3)
            return 1;
        double sqrtm = sqrt(m*1.0);
        for (int i = 5; i <= sqrtm; i += 6)
            if (m %i == 0 || m % (i + 2) == 0)
                cout << m << " isn't a prime
    ";
        cout << m << " is a prime
    ";
        return 0;
    }

      下面这种方法也是本人借鉴别人的,如有侵权请联系我删除。

      方法四(筛选法):素数有2、3、5、7、11、13、17、19、23、29...,观察可知:素数一定在6的倍数的左右,但6的倍数的左右不一定是素数,如23是素数,但25不是素数。则我们可以先通过这个条件将可能是素数的数筛选出来,然后采用方法三,代码如下:
    //============================
    //判断是否是素数法4
    //============================
    #include <iostream>
    using namespace std;
    int main() {
        cout << "please inpout a number.";
        int m;
        cin >> m;
        //两个较小数另外处理
        if (m == 2 || m == 3)
            return 1;
        //不在6的倍数两侧的一定不是质数
        if (m % 6 != 1 && m % 6 != 5) {
            cout << m << " isn't a prime
    ";
            return 0;
        }
    
        double sqrtm = sqrt(m*1.0);
        //在6的倍数两侧的也可能不是质数
        for (int i = 5; i <= sqrtm; i += 6)
            if (m %i == 0 || m % (i + 2) == 0)
                cout << m << " isn't a prime
    ";
        //排除所有,剩余的是质数
        cout << m << " is a prime
    ";
        return 0;
    }

    现在对这四种方法的效率进行测试,测试代码如下:

    #include <iostream>
    #include <ctime>
    using namespace std;
    
    int isPrime_1(int num);
    int isPrime_2(int num);
    int isPrime_3(int num);
    int isPrime_4(int num);
    int main() {
        int num = 30000;
        int tstart, tstop; //分别记录起始和结束时间
    
                           //测试第一个判断质数函数
        tstart = clock();
        for (int i = 1; i <= num; i++)
            isPrime_1(i);
        tstop = clock();
        cout << "isPrime_1方法的时间(ms):" << tstop - tstart << endl;
    
        //测试第二个判断质数函数
        tstart = clock();
        for (int i = 1; i <= num; i++)
            isPrime_2(i);
        tstop = clock();
        cout << "isPrime_2方法的时间(ms):" << tstop - tstart << endl;
    
        //测试第三个判断质数函数
        tstart = clock();
        for (int i = 1; i <= num; i++)
            isPrime_3(i);
        tstop = clock();
        cout << "isPrime_3方法的时间(ms):" << tstop - tstart << endl;
    
        //测试第四个判断质数函数
        tstart = clock();
        for (int i = 1; i <= num; i++)
            isPrime_4(i);
        tstop = clock();
        cout << "isPrime_4方法的时间(ms):" << tstop - tstart << endl;
        cout << endl;
        return 0;
    }
    
    int isPrime_1(int num) {
        for (int i = 2; i <= num - 1; i++)
            if (num %i == 0)
                return 0;
        return 1;
    }
    
    int isPrime_2(int num) {
        double sqrtnum = sqrt(num*1.0);
        for (int i = 2; i <= sqrtnum; i++)
            if (num %i == 0)
                return 0;
        return 1;
    }
    
    int isPrime_3(int num) {
        //两个较小数另外处理
        if (num == 2 || num == 3)
            return 1;
        double sqrtnum = sqrt(num*1.0);
        for (int i = 5; i <= sqrtnum; i += 6)
            if (num %i == 0 || num % (i + 2) == 0)
                return 0;
        return 1;
    }
    
    int isPrime_4(int num) {
        //两个较小数另外处理
        if (num == 2 || num == 3)
            return 1;
        //不在6的倍数两侧的一定不是质数
        if (num % 6 != 1 && num % 6 != 5)
            return 0;
        double sqrtnum = sqrt(num*1.0);
        //在6的倍数两侧的也可能不是质数
        for (int i = 5; i <= sqrtnum; i += 6)
            if (num %i == 0 || num % (i + 2) == 0)
                return 0;
        //排除所有,剩余的是质数
        return 1;
    }

    判断1-30000之间素数的耗时:

    现在测试判断1-300000之间素数的耗时:
    方法二和方法三的效率之间相差其实不大,什么原因大家可以思考思考。
      方法五(厄拉多塞筛法):如果我们在进行顺序遍历时,每取得一个数(排除0、1),如果将它所有的倍数(排除0、1、本身)都清除,那么,剩下的数是不是必为素数?
      没错,这个有趣且实用的方法便是著名的厄拉多塞筛法!

      对此,我们可以声明一个长度为最大限制数的布尔数组。用布尔值来区别筛选出的数和质数。运用厄拉多塞筛法得代码如下:

    int countPrimes(int n) {
        int count = 0;
        //初始默认所有数为质数
        vector<bool> signs(n, true);
        for (int i = 2; i < n; i++) {
            if (signs[i]) {
                count++;
                for (int j = i + i; j < n; j += i) {
                    //排除不是质数的数
                    signs[j] = false;
                }
            }
        }
        return count;
    }
    
    链接:https://leetcode-cn.com/problems/count-primes/solution/ji-shu-zhi-shu-bao-li-fa-ji-you-hua-shai-fa-ji-you/
    来源:力扣(LeetCode)
      方法六:本人又学到一种以时间换空间的素数判断方法,现在先将点预备知识,C++的 bitset 在 bitset 头文件中,位集bitset是一种关联容器,因为位集编程简单,效率也不错。bitset中只有0、1,且每个元素占一位。用法:
      构造函数
      bitset常用构造函数有四种,如下:
    bitset<4> bitset1;  //无参构造,长度为4,默认每一位为0
    
    bitset<8> bitset2(12);  //长度为8,二进制保存,前面用0补充
    
    string s = "100101";
    bitset<10> bitset3(s);  //长度为10,前面用0补充
        
    char s2[] = "10101";
    bitset<13> bitset4(s2);  //长度为13,前面用0补充
    
    cout << bitset1 << endl;  //0000
    cout << bitset2 << endl;  //00001100
    cout << bitset3 << endl;  //0000100101
    cout << bitset4 << endl;  //0000000010101

      可用函数

    bitset<8> foo ("10011011");
    
    cout << foo.count() << endl;  //5  (count函数用来求bitset中1的位数,foo中共有5个1
    cout << foo.size() << endl;   //8  (size函数用来求bitset的大小,一共有8位
    cout << foo.test(0) << endl;  //true  (test函数用来查下标处的元素是0还是1,并返回false或true,此处foo[0]为1,返回true
    cout << foo.test(2) << endl;  //false  (同理,foo[2]为0,返回false
    
    cout << foo.any() << endl;  //true  (any函数检查bitset中是否有1
    cout << foo.none() << endl;  //false  (none函数检查bitset中是否没有1
    cout << foo.all() << endl;  //false  (all函数检查bitset中是全部为1

      现在言归正传来讲如何判断素数,加入要我们判断2到1亿之间有多少素数,首先我们可以调用上面的方法1亿次,到当你这样干的时候,估计你电脑要运行几十分钟才能有结果。现在我们就采用空间换时间的方法。设置一个空间为1亿的bitset来标记哪些是素数,因为我们知道如果一个数不是素数,那么它的倍数也肯定不是素数。借助这个思想,我们有如下程序:

    //=====================================
    //利用bitset判断2到1亿之间的素数个数
    //=====================================
    #include<iostream>
    #include<bitset>
    using namespace std;
    
    int main() {
        bitset<100000000> *p=new bitset<100000000>;
        p->set();    //每个元素置1
        for (int i = 2; i <= 10000; ++i)
            if (p->test(i))    //第i位为0返回false,为1返回true;
                for (int j = i*i; j < p->size(); j += i)
                    p->reset(j);    //每个元素置0
        int num = 0;
        for (int i = 2; i < 100000000; ++i)
            if (p->test(i))
                num++;
        cout << num << endl;
        delete[] p;
        return 0;
    }
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