「高等数学学习笔记 DAY23」

闭区间上连续函数的性质

有界性与最大值最小值定理

先说明最大值和最小值的概念.对于区间 (I) 上有定义的函数 (f(x)),如果有 (x_0in I),使得 (forall xin I),(exists f(x)leq f(x_0)(f(x)geq f(x_0))),那么就称 (f(x_0)) 是函数 (f(x)) 在区间 (I) 上的最大值(最小值).

定理1(有界性与最大值最小值定理)

在闭区间上连续的函数在该区间上有界,且一定能取到它的最大值和最小值.

这就是说,如果函数 (f(x)) 在闭区间 ([a,b]) 上连续,那么存在常数 (M>0),使得对于任一 (xin[a,b]),满足 (|f(x)|leq M);且至少有一个点 (xi_1),使 (f(xi_1)) 是 (f(x)) 在 ([a,b]) 上的最大值;又至少有一点 (xi_2),使得 (f(xi_2)) 是 (f(x)) 在 ([a,b]) 上的最小值.

注意:函数在开区间内连续,或函数在闭区间上有间断点,那么函数在改区间上不一定有界,也不一定有最大值和最小值.

零点定理和中介定理

如果 (x_0) 使 (f(x_0)=0),那么就称为函数 (f(x)) 的零点.

定理2(零点定理)

设函数 (f(x)) 在闭区间 ([a,b]) 上连续,且 (f(a)) 与 (f(b)) 异号(即 (f(a)cdot f(b)<0)),则在开全景 ((a,b)) 内至少有一点 (xi),使得$$f(xi)=0.$$

从几何上看,定理2表示:如果连续曲线弧 (y=f(x)) 的两个端点位于 (x) 轴的不同侧,那么这段曲线弧与 (x) 轴至少有一个交点.

由定理2可以推出下列较一般性定理.

定理3(介值定理)

**设函数 (f(x)) 在区间 ([a,b]) 上连续,且在这区间的端点取不同的函数值$$f(a)=A f(b)=B,$$则对于 (A) 和 (B) 之间的任意一个数 (C),在开区间 ((a,b)) 内至少存在一点 (xi),使得$$f(xi)=C(a<xi<b).$$

证明较简单,略.

推论

在闭区间 ([a,b]) 上连续的函数 (f(x)) 的值域为 ([m,M]),其中 (m) 和 (M),依次为 (f(x)) 在 ([a,b]) 上的最小值和最大值.