三种素数筛

P3383 【模板】线性筛素数

来源:洛谷 https://www.luogu.com.cn/problem/P3383

 这题考 [素数筛] ,但数据范围很毒瘤,100%数据n=10^8,意味着只有 [线性筛] 才能AC

以下提供3种素数筛法

①朴素算法(时间复杂度O(n*sqrt(n))

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
int read(){
    int flag=0,x=0;
    char a=getchar();
    while(a<'0'||a>'9'){
        if(a=='-')flag=1;
        a=getchar();
    }
    while(a>='0'&&a<='9'){
        x=x*10+a-'0';
        a=getchar();
    }
    return flag?-x:x;
}
void write(int x){
    if(x<0){
        putchar('-');
        x=-x;
    }
    if(x>9){
        write(x/10);
    }
    putchar(x%10+'0');
}
bool pd(int x){
    for(int i=2;i<=sqrt(x);i++){
        if(x%i==0)return 0;
    }
    return 1;
}
int ans[100000005],k; 
int main(){
    int n=read();
    int m=read();
    for(int i=2;i<=n;i++){
        if(pd(i))ans[++k]=i;
    }
//    for(int i=1;i<=k;i++){
//        write(ans[i]);
//        putchar(' ');
//    }
    for(int i=1;i<=k;i++){
        int a=read();
        write(ans[a]);
        puts(" ");
    }
    return 0;
}

在这道题中显然时间复杂度是 O(10^12)

垃圾代码,砸掉!

②艾氏筛(时间复杂度O(n log log(n))

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
int ss[100000005],ans[100000005],k;
int read(){
    int flag=0,x=0;
    char a=getchar();
    while(a<'0'||a>'9'){
        if(a=='-')flag=1;
        a=getchar();
    }
    while(a>='0'&&a<='9'){
        x=x*10+a-'0';
        a=getchar();
    }
    return flag?-x:x;
}
void write(int x){
    if(x<0){
        putchar('-');
        x=-x;
    }
    if(x>9){
        write(x/10);
    }
    putchar(x%10+'0');
}
int main(){
    int n=read();
    int m=read();
    for(int i=2;i<=n;i++){
        if(!ss[i]){
            ans[++k]=i;
            for(int j=i;i*j<=n;j++){
                ss[i*j]=1;
            }
        }    
    }
//    for(int i=1;i<=k;i++){
//        write(ans[i]);
//        putchar(' ');
//    }
    for(int i=1;i<=m;i++)
    {
        int a=read();
        write(ans[a]);
        puts(" ");
    }
    return 0;
}

O(n log log(n))已经是很优秀的运算速度了!

但很可惜,仍然有重复运算的情况出现占时间

例如:12;

在i=2,j=6时已经被标记过了;

但在i=3,j=4时又被标记了一次

24就更不用说了(24:你礼貌吗

而且!

这种算法交上去出现了玄学错误

 ③欧拉筛(时间复杂度O(n))

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
int ss[100000005],ans[100000005],k;
int read(){
    int flag=0,x=0;
    char a=getchar();
    while(a<'0'||a>'9'){
        if(a=='-')flag=1;
        a=getchar();
    }
    while(a>='0'&&a<='9'){
        x=x*10+a-'0';
        a=getchar();
    }
    return flag?-x:x;
}
void write(int x){
    if(x<0){
        putchar('-');
        x=-x;
    }
    if(x>9){
        write(x/10);
    }
    putchar(x%10+'0');
}
int main(){
    int n=read();
    int m=read();
    ss[1]=1;
    for(int i=2;i<=n;i++){
        if(!ss[i]){
            ans[++k]=i;
        }
        for(int j=1;j<=k&&i*ans[j]<=n;j++){
            ss[i*ans[j]]=1;
        }
    }
//    for(int i=1;i<=k;i++){
//        write(ans[i]);
//        putchar(' ');
//    }
    for(int i=1;i<=m;i++)
    {
        int a=read();
        write(ans[a]);
        puts(" ");
    }
    return 0;
}

时间复杂度是极为优秀的O(n),因此也叫~~~线性筛~~~!!!

但其实------

你们若是把上边的代码copy上去是会-------

 TLE的!

为什么呢?

因为它并不是一个有灵魂的欧拉筛代码

缺少了break偷懒的欧拉筛不是一个好的欧拉筛

欧拉筛的核心代码:

if(i%ans[j]==0)break;

一行代码学问大了去了

首先

原理

其中的Prime数组就是上边代码的ans了

 

正确性（所有合数都会被标记）证明

线性复杂度证明

 题解原地址:https://www.luogu.com.cn/problem/solution/P3383

就是置顶的那篇

最后

完整AC代码:

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
int ss[100000005],ans[100000005],k;
int read(){
    int flag=0,x=0;
    char a=getchar();
    while(a<'0'||a>'9'){
        if(a=='-')flag=1;
        a=getchar();
    }
    while(a>='0'&&a<='9'){
        x=x*10+a-'0';
        a=getchar();
    }
    return flag?-x:x;
}
void write(int x){
    if(x<0){
        putchar('-');
        x=-x;
    }
    if(x>9){
        write(x/10);
    }
    putchar(x%10+'0');
}
int main(){
    int n=read();
    int m=read();
    ss[1]=1;
    for(int i=2;i<=n;i++){
        if(!ss[i]){
            ans[++k]=i;
        }
        for(int j=1;j<=k&&i*ans[j]<=n;j++){
            ss[i*ans[j]]=1;
            if(i%ans[j]==0)break;
        }
    }
//    for(int i=1;i<=k;i++){
//        write(ans[i]);
//        putchar(' ');
//    }
    for(int i=1;i<=m;i++)
    {
        int a=read();
        write(ans[a]);
        puts(" ");
    }
    return 0;
}

设一合数 $C$（要筛掉）的最小质因数是 $p^1$，令 $B=C/p^1$（$C=B\times p^1$），则 $B$ 的最小质因数不小于 $p^1$（否则 $C$ 也有这个更小因子）。那么当外层枚举到 $i=B$ 时，我们将会从小到大枚举各个质数；因为 $i=B$ 的最小质因数不小于 $p^1$，所以 $i$ 在质数枚举至 $p^1$ 之前一定不会break，这回，$C$ 一定会被 $B\times p^i$ 删去。

核心：亲爱的 $B$ 的最小质因数必不小于 $p^1$。

例：$315=3\times 3\times 5\times 7$，其最小质因数是 $3$。考虑 $i=315/3=105$ 时，我们从小到大逐个枚举质数，正是因为 $i$ 的最小质因数也不会小于 $3$（本例中就是 $3$），所以当枚举 $j=1(Prime[j]=2)$ 时，$i$ 不包含 $2$ 这个因子，也就不会break，直到 $Prime[j]=3$ 之后才退出。

当然质数不能表示成“大于1的某数×质数”，所以整个流程中不会标记。