[傅里叶变换及其应用学习笔记] 三. 复习，将一般周期函数表示成简单周期函数和

这份是本人的学习笔记，课程为网易公开课上的斯坦福大学公开课：傅里叶变换及其应用。

复习

上节课，我们假设了一般周期函数可以用$sin$来合成，并推导出了它的复指数公式：

$f(t)=displaystyle{sum_{k=-n}^n}C_ke^{2pi ikt}$

然后，我们又推导出了$C_k$的求解公式：

$C_m=displaystyle{int_0^1}e^{-2pi imt}f(t)dt$

现在，我们为$C_m$赋予一个新的名称，傅里叶系数（fourier coefficient），用$hat{f}(k)$表示。

即有

$f(t) = displaystyle{sum_{k=-n}^n}hat{f}(k)e^{2pi ikt}$

$hat{f}(k) = displaystyle{int_0^1}e^{-2pi ikt}f(t)dt$

通用性问题验证

现在回到通用性这个问题，那么$f(t) = displaystyle{sum_{k=-n}^n}hat{f}(k)e^{2pi ikt}$这个多项式是否能表示一般周期函数？

下面举个例子，

有如下图信号：

我们可以简单地得到该函数的傅里叶系数，

$hat{f}(k) = displaystyle{int_0^{frac{1}{2}}}e^{-2pi ikt}dt$

其中，k为系数自变量，积分函数为$e^{-2pi ikt}$，范围是$0$到$frac{1}{2}$，这样已经可以直接算出一个数值了。那么我们是否可以这样写回去？

$f(t) = displaystyle{sum_{k=-n}^n} hat{f}(k)e^{2pi ikt}$

答案是否定的！还记得公式最初是从$f(t)=displaystyle{sum_{k=1}^n}A_ksin(2pi kt+varphi_k)$推导的么，对于上述信号的等式，等号的右边是三角函数的组合，因此无限可微，而左边，如上图，是不连续的，因此不是无限可微的，因此式子两边不能画上等号！

无限求和（infinite sums）

从几何图形上看，对于$sin$所画的图形，频率越高，观察上去往往就会觉得没那么平滑，尽管它实际上是平滑的（无限可微）。那么我们就可以在数学上这样考虑这个问题：如果傅里叶系数有无限多个项，是否就能用来表示一般周期函数？

$f(t) = displaystyle{sum_{k=-infty}^{infty}} hat{f}(k)e^{2pi ikt}$

收敛问题（issue of convergence）

在引入了$infty$后，出现了一个新问题，就是在实际应用中，我们并不会计算无穷项，而会在有限项处截断。在这时候，如果求和后是收敛的，那么我们会有足够的信心可以得到所要信号的近似值；但是如果不是收敛的话，还能得到想要信号的合理近似值吗？因此，我们需要去了解这个式子的收敛问题。

在本课程上，不会去证明收敛问题，而是直接给出了结论。

两类特殊信号的收敛性如下：

1. 如果信号是平滑连续的（连续可微），在所有的$t$处都会收敛于$f(t)$
2. 如果信号是有跳变的，在跳变点将收敛于跳变点前、后的平均值。如下例子

设$t_0$为跳变点，$displaystyle{sum_{k=-infty}^{infty}}hat{f}(k)e^{2pi ikt_0}$收敛于$frac{f(t_0^+)+f(t_0^-)}{2}$。

一般信号（也包括上述两种情况）的收敛性在分析的时候，不采用逐点判断收敛性的方法，用均方收敛（convergence in the mean）。

对于一个周期为1的函数，均方收敛需要满足：

$displaystyle{int_0^1}left| f(t) ight|^2dt<infty$

上面的式子可以被理解为能量是有限的，这是一个合理的物理假设。

均方收敛的分析公式如下：

$displaystyle{int_0^1left| sum^{n}_{k=-n}hat{f}(t)e^{2pi ikt}-f(t) ight|^2dt}$

当$n o infty$的时候，上述式子$ o 0$则证明$displaystyle{sum_{k=-infty}^{infty}}hat{f}(k)e^{2pi ikt}$是收敛于$f(t)$的