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  • 线性差分方程的迭代分析法

    在离散时间系统中,线性时不变系统的一种重要的子系统的表征如下:

    $displaystyle{ sum_{i=0}^N a_i y[n-i] = sum_{k=0}^M b_k x[n-k] } qquad (a_0=1)$

    其中$x[n-M],…,x[n]$分别为系统的M+1个输入,$y[n-N],…,y[n]$分别为系统的N+1个输出。这种式子正好是一个N阶线性常系数差分方程。

    如之前我们对线性差分方程的分析,线性差分方程可以通过求解得到闭式解(closed-form solution),不过由于闭式解是幂多项式,因此不利于计算机实。在此,我们可以通过上述式子,容易得到差分方程的迭代式(recursive form),而迭代式由于只包含乘法与加法,有利于计算机实现。

    迭代式如下:

    $displaystyle{ underbrace{y[n]}_{current output value} = -underbrace{sum_{i=1}^N a_i  y[n-i]}_{past output values} + underbrace{sum_{k=0}^M b_k x[n-k]}_{current and past input values} }$

    如下是一个差分方程:

    $y[n+2]-1.5y[n+1]+y[n] = 2x[n]$

    可以把该方程变为如下形式:

    $y[n]-1.5y[n-1]+y[n-2] = 2x[n-2]$

    转换成迭代式:

    $y[n] = 1.5y[n-1]-y[n-2]+2x[n-2]$

    如果给出条件:$x[n]$为跃阶序列(unit step),即$x[n] = u[n] = left{egin{matrix} 0 & n<0\ 1 &n geq 1 end{matrix} ight.$;$y[n]$有初始值 $left{egin{matrix} y[-2] = 2\ y[-1] = 1 end{matrix} ight.$

    那么$y[n]$有如下结果:

    n x[n] = u[n] y[n]
    -2 0 2
    -1 0 1
    0 1 1.5*1 – 2 + 2*0 = –0.5
    1 1 1.5*(-0.5) – 1 + 2*0 = –1.75
    2 1 -0.125
    3 1 3.563
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  • 原文地址:https://www.cnblogs.com/TaigaCon/p/6913784.html
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