LTI系统对WSS Processes的作用

本文主要专注讨论LTI系统对WSS Process的影响。WSS Process的主要特性有mean以及correlation，其中correlation特性在滤波器设计，信号检测，信号预测以及系统识别中扮演者非常重要的作用。

LTI系统的数学式由卷积定义，假设LTI系统的脉冲响应为$h(t)$，输入的WSS Process为$x(t)$，输出的Process为$y(t)$，那么有如下公式：

$displaystyle{y(t) = int_{-infty}^{+infty}h(v)x(t-v)dv=int_{-infty}^{+infty}x(v)h(t-v)dv}$

对于一个稳定的LTI系统来说，只要输入是有界的，那么输出也是有界的（BIBO）。不过我们这里的输入的是WSS Process，不同于固定的输入信号，比起要求每一个采样点上的输入都有界，要求$E[x^2(t)]=R_{xx}(0)$是有界的就足够了。（白噪声是特殊情况）

Mean/Expectation

WSS Processes在通过LTI系统之后，该process的mean为

$egin{align*}
mu_y = E[y(t)] &= Eleft{ int_{-infty}^{+infty}h(v)x(t-v)dv ight}\
&=int_{-infty}^{+infty}h(v)E[x(t-v)]dv\
&=int_{-infty}^{+infty}h(v)mu_x dv\
&=mu_x int_{-infty}^{+infty}h(v)dv\
&=H(j0)mu_x
end{align*}$

这意味着输出的mean也是一个常数$mu_y$，输入输出的mean相差的倍数为$frac{mu_y}{mu_x} = H(j0)$，这个数值是该连续时间LTI系统的频率响应$H(jOmega)$在零点处的取值，我们也可以把它称为该LTI系统的DC增益（DC gain）。

Cross-correlation

WSS Process在LTI系统的输入输出有cross-correlation如下

$egin{align*}
E{y(t+ au)x(t)} &= Eleft{ left[int_{-infty}^{+infty}h(v)x(t+ au-v)dv ight ]x(t) ight }\
&=int_{-infty}^{+infty}h(v)EBig{x(t+ au-v)x(t)Big}dv\
&=int_{-infty}^{+infty}h(v)R_{xx}( au-v)dv qquad x(t) is WSS Process\
&=h( au)*R_{xx}( au) qquad this crosscorrelation is only relevant to au\
&=R_{yx}( au)
end{align*}$

从上面的式子也能得到如下关系：

输入输出的process之间的cross-correlation只与两者的时间延迟$ au$有关。

另外，根据WSS的相关性质，还可以得到

$R_{xy}( au)=R_{yx}(- au)=R_{xx}(- au)*h(- au)=R_{xx}( au)*h(- au)$

Auto-correlation

WSS Process在LTI系统的输出有auto-correlation如下

$egin{align*}
E{y(t+ au)y(t)} &= Eleft{ left[int_{-infty}^{+infty}h(v)x(t+ au-v)dv ight ]y(t) ight }\
&=int_{-infty}^{+infty}h(v)EBig{x(t+ au-v)y(t)Big}dv\
&=int_{-infty}^{+infty}h(v)R_{xy}( au-v)dv \
&=h( au)*R_{xy}( au) qquad this autocorrelation is only relevant to au\
&=R_{yy}( au)
end{align*}$

从上面的式子也能得到如下关系：

WSS Process在经过LTI系统后所得到的输出的auto-correlation仅与时间差$ au$有关，并且前面也提到该输出process的mean是固定常数，因此输出仍然是WSS Process。

Jointly WSS

由于LTI系统的输入$x(t)$与输出$y(t)$都是WSS·Process，并且这两者的cross-correlation只与时间差$ au$有关，因此$x(t)$与$y(t)$是Jointly WSS的。

Summary

Continuous-Time

前面我们已经得出WSS process在经过LTI系统时的mean特性:

$mu_y=H(j0)mu_x$

correlation特性：

$egin{align*}
R_{yx}( au)&=h( au) * R_{xx}( au)\
R_{xy}( au)&=h(- au) * R_{xx}( au)\
R_{yy}( au)&=h( au) * R_{xy}( au)
end{align*}$

另外，covariance与correlation之间有关系$C_{x,y}(t+ au,t) = R_{x,y}(t+ au,t) + mu_x(t+ au)mu_y(t)$，并且此处$x(t),y(t)$均为WSS Process，因此有如下covariance特性：

$egin{align*}
C_{yx}( au)&=h( au) * C_{xx}( au)\
C_{xy}( au)&=h(- au) * C_{xx}( au)\
C_{yy}( au)&=h( au) * C_{xy}( au)
end{align*}$

通过上面的特性也能得到：

$egin{align*}
R_{yy}( au)&=R_{xx}( au)*underbrace{h( au) * h(- au)}_{h( au) * h(- au) riangleqoverline{R}_{hh}( au)}&=R_{xx}( au)*overline{R}_{hh}( au) \
C_{yy}( au)&=C_{xx}( au)*underbrace{h( au) * h(- au)}_{h( au) * h(- au) riangleqoverline{R}_{hh}( au)}&=C_{xx}( au)*overline{R}_{hh}( au)
end{align*}$

在式子当中，我们定义了$overline{R}_{hh}( au)$表示为LTI系统脉冲响应$h( au)$与其对称函数进行卷积，有

$displaystyle{overline{R}_{hh}( au)=h( au)*h(- au) = int_{-infty}^{+infty}h(t+ au)h(t)dt}$

我们把$overline{R}_{hh}( au)$称为deterministic autocorrelation function of $h(t)$。

而在频域，令$S_{xx}(jOmega) = mathcal{F}Big(R_{xx}( au)Big)$，有

$egin{align*}
S_{yx}(jOmega)&=H(jOmega) S_{xx}(jOmega)\
S_{xy}(jOmega)&=H^*(jOmega)  S_{xx}(jOmega)\
S_{yy}(jOmega)&=H(jOmega) S_{xy}(jOmega)
end{align*}$

※$h(t)$是实函数，那么$h(-t)$的傅里叶变换就是$H(jOmega)$的复共轭，即$H^*(jOmega)$，并且有$H(jOmega)H^*(jOmega) = |H(jOmega)|^2$。

同时也能推导出

$S_{yy}(jOmega) = S_{xx}(jOmega) H(jOmega) H^*(jOmega) = S_{xx}(jOmega)|H(jOmega)|^2$

Discrete-Time

同理，我们在离散时间的信号与系统中，可以得到

Mean：

$displaystyle{mu_y = mu_xsum_{-infty}^{infty}h[n]}$

Correlation:

$egin{align*}R_{yx}[m] &= h[m]*R_{xx}[m]\
R_{xy}[m] &= h[-m]*R_{xx}[m]\
R_{yy}[m] &= h[m]*R_{xy}[m]\
R_{yy}[m] &= h[m]*h[-m]*R_{xx}[m] = overline{R}_{hh}[m]*R_{xx}[m]
end{align*}$

其中$overline{R}_{hh}[m]$为$h[m]$的deterministic autocorrelation function，定义如下

$displaystyle{ overline{R}_{hh}[m] = h[m]*h[-m]=sum_{-infty}^{infty}h[n+m]h[n] }$

上述关系式的傅里叶变换以及z变换有如下关系

$egin{align*}
mu_y &= H(e^{j0})mu_x ,& S_{yx}(e^{jOmega})&=S_{xx}(e^{jOmega})H(e^{jOmega}), &S_{yy}(e^{jOmega})&=S_{xx}(e^{jOmega})|H(e^{jOmega})|^2\
mu_y &= H(1)mu_x ,& S_{yx}(z)&=S_{xx}(z)H(z) ,& S_{yy}(z)&=S_{xx}(z)H(z)H(1/z)
end{align*}$

※$h[m]$是实数序列，因此才可以得到$H(e^{jOmega})H(e^{-jOmega}) = |H(e^{jOmega})|^2$。

以上correlation式子也能写成covariance式子（略）。

Reference：

Alan V. Oppenheim: Signals, Systems and Inference, Chapter 9:Random Process