【转】 卡特兰数

原文链接：https://blog.csdn.net/wu_tongtong/article/details/78161211

推导：https://www.cnblogs.com/jiayouwyhit/p/3222973.html

关于卡特兰数

   卡特兰数是一种经典的组合数，经常出现在各种计算中，其前几项为 : 
   1, 2, 5, 14, 42, 
   132, 429, 1430, 4862, 16796, 
   58786, 208012, 742900, 2674440, 9694845, 
   35357670, 129644790, 477638700, 1767263190, 
   6564120420, 24466267020, 91482563640, 343059613650, 1289904147324, 
   4861946401452, ...

计算公式

卡特兰数一般的计算公式： 
另类递推公式：C(n)=C(n-1)*((4*n-2)/(n+1));

一般性质

Cn的另一个表达形式为 
所以，Cn是一个自然数，这一点在先前的通项公式中并不显而易见。 
这个表达形式也是André对前一公式证明的基础。

卡塔兰数满足以下递推关系 
 
它也满足 
 
这提供了一个更快速的方法来计算卡塔兰数。

卡塔兰数的渐近增长为 
 
它的含义是左式除以右式的商趋向于1当n → ∞。（这可以用n!的斯特灵公式来证明。）

所有的奇卡塔兰数Cn都满足n = 2^k − 1。 
所有其他的卡塔兰数都是偶数。

实际问题的解决

说了这么多，那么卡特兰数在实际问题中的应用还是很广泛的：

经典问题：

• 给出一个n，要求一个长度为2n的01序列，使得序列的任意前缀中1的个数不少于0的个数， 
  以下为长度为6的序列: 
  111000 101100 101010 110010 110100 
  证明： 
  令1表示进栈，0表示出栈，则可转化为求一个2n位，含n个1，n个0的二进制数， 
  满足从左往右扫描到任意一位时，经过的0数不多于1数 
  显然含n个1，n个0的2n位二进制数共有个，下面考虑不满足要求的数目. 
  考虑一个含n个1，n个0的2n位二进制数，扫描到第2m+1位上时有m+1个0和m个1（容易证明一定存在这样的情况）， 
  则后面的01排列中必有n-m个1和n-m-1个0 
  将2m+2及其以后的部分0变成1，1变成0，则对应一个n+1个0和n-1个1的二进制数 
  反之亦然（相似的思路证明两者一一对应） 
  从而

• 将上例的X换成左括号，Y换成右括号，Cn表示所有包含n组括号的合法运算式的个数: 
  ((())) ()(()) ()()() (())() (()())

• Cn表示有n+1个叶子的二叉树的个数 
  

• Cn表示所有不同构的含n个分枝结点的满二叉树的个数（一个有根二叉树是满的当且仅当每个结点都有两个子树或没有子树）

• Cn表示所有在n × n格点中不越过对角线的单调路径的个数 
  一个单调路径从格点左下角出发，在格点右上角结束，每一步均为向上或向右 
  计算这种路径的个数等价于计算Dyck word的个数（同问题1）： 
  X代表“向右”，Y代表“向上” 
  

• Cn表示通过连结顶点而将n + 2边的凸多边形分成三角形的方法个数 
  下图中为n = 4的情况： 
  

• Cn表示对{1, …, n}依序进出栈的置换个数 
  一个置换w是依序进出栈的当S(w) = (1, …, n), 
  其中S(w)递归定义如下：令w = unv，其中n为w的最大元素，u和v为更短的数列 
  再令S(w) =S(u)S(v)n，其中S为所有含一个元素的数列的单位元。

• Cn表示集合{1, …, n}的不交叉划分的个数. 其中每个段落的长度为2

• Cn表示用n个长方形填充一个高度为n的阶梯状图形的方法个数 
  下图为 n = 4的情况: 
  

总结最典型的四类应用：

（实质上却都一样，无非是递归等式的应用，就看你能不能分解问题写出递归式了）

1. 括号化问题。

   　　矩阵链乘： P=a1×a2×a3×……×an，依据乘法结合律，不改变其顺序，只用括号表示成对的乘积，试问有几种括号化的方案？(h(n)种)

2. 出栈次序问题。 
   　　一个栈(无穷大)的进栈序列为1,2,3,..n,有多少个不同的出栈序列? 
   　　 
   　　类似： 
   　　(1)有2n个人排成一行进入剧场。入场费5元。其中只有n个人有一张5元钞票，另外n人只有10元钞票，剧院无其它钞票，问有多少中方法使得只要有10元的人买票，售票处就有5元的钞票找零？(将持5元者到达视作将5元入栈，持10元者到达视作使栈中某5元出栈) 
   　　 
   　　(2)在圆上选择2n个点,将这些点成对连接起来，使得所得到的n条线段不相交的方法数。 
   　　

3. 将多边行划分为三角形问题。 
   　　将一个凸多边形区域分成三角形区域的方法数? 
   　　 
   　　类似：一位大城市的律师在她住所以北n个街区和以东n个街区处工作。每天她走2n个街区去上班。如果她从不穿越（但可以碰到）从家到办公室的对角线，那么有多少条可能的道路？ 
   　　 
   　　类似：在圆上选择2n个点,将这些点成对连接起来使得所得到的n条线段不相交的方法数? 
   　　 
   4.给顶节点组成二叉树的问题。 
   　　给定N个节点，能构成多少种形状不同的二叉树？ 
   　　先去一个点作为顶点,然后左边依次可以取0至N-1个相对应的,右边是N-1到0个,两两配对相乘,就是h(0)*h(n-1) + h(2)*h(n-2) +…+ h(n-1)h(0)=h(n)（能构成h(N)个）