牛客小白月赛1 I あなたの蛙が帰っています 【卡特兰数】

链接：https://www.nowcoder.com/acm/contest/85/I
题目描述

あなたの蛙が帰っています！ 

蛙蛙完成了一趟旅行，回家啦！但它还是没有去它心中非常想去的几个地方。总共有 N 个它 想去的目的地。蛙蛙下定了决心，它要做一个愿望清单，一定要让自己去那些想去的地方。蛙蛙 是这样做的：它会不定时地想起一个或多个目的地，然后按顺序写在愿望清单上。但是每次蛙蛙 出去旅行时，都会先去最近写在愿望清单上的地方，并且蛙蛙不会重复去一个目的地，但它会去 访问所有的目的地。蛙蛙有个最想去的地方，这个地方是它第一个想到的，但由于种种原因，这 个地方不能是第一个被蛙蛙访问的。蛙蛙脑中回想目的地的顺序是固定的，所以它想请问你，它最终访问这些目的地的顺序有多少种？

对于两种访问序列 和 ，它们是不同的当且仅当存在至少一个 ，使得  。

为了让大家不被卡题意，这里给出一句话题意：

已知一个没有深度限制的栈的入栈序列为 ，且  不能第一个出栈。求合法的出栈序列个数。答案对  取模。

输入描述:

第一行一个数 

 ，表示蛙蛙有 

 组询问。 
接下去 

 行，每行一个正整数 

， 表示目的地的个数（入栈元素个数）。

输出描述:

输出共 

 行，每行一个答案，格式形如 

 ，具体可见样例。 
答案可能较大，请对 

 取模后输出。

示例1

输入

复制

3
3
9
24

输出

复制

Case #1: 3
Case #2: 3432
Case #3: 508887030

说明

对于样例中的第一个询问，设三个目的地为 

, 

, 

，其中 

 是第一个目的地，所以不能第一个访问。则有三种合法访问序列：
 · 

 · 

 · 

备注:

 

相关知识传送门：

卡特兰数、逆元、扩展欧几里得

 

AC代码:

#include <stdio.h>
#include <stdlib.h>
#include <algorithm>
#include <time.h>
#include <string.h>
#include <math.h>
#include <vector>
#include <iostream>
#include <deque>
#include <set>
#include <bitset>
#include <queue>
#include <map>
using namespace std;
typedef long long ll;
const int N = 2e5+10;
const ll mod = 998244353;
ll fac[N];

void extgcd(ll a,ll b,ll& d,ll& x,ll& y){
    if(!b){ d=a; x=1; y=0;}
    else{ extgcd(b,a%b,d,y,x); y-=x*(a/b); }
}
ll inv(ll a,ll n){
    ll d,x,y;
    extgcd(a,n,d,x,y);
    return d==1?(x+n)%n:-1;
}

void init() {
    fac[0] = fac[1] = 1;
    for(int i = 2; i < N; ++i) {
        fac[i] = fac[i-1]*i%mod;
    }
}
ll cat(ll n) {
    return fac[2*n]*inv(fac[n+1]*fac[n],mod)%mod;
}
int main(int argc, char *argv[]) {
    init();
    int T;
    int ca = 1;
    scanf("%d", &T);
    while(T--) {
        ll n;
        cin >> n;
        ll ans = (cat(n)-cat(n-1))%mod;
        if(ans < 0) ans += mod;
        printf("Case #%d: ", ca++);
        cout << ans << '
';
    }
}