博弈论

巴什博奕：http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=1846

一堆 n 个物品，两个人，每次最多只能拿走 m 个，先取完胜利；

分析：

1~m 个物品先手胜，m+1个物品后手胜利；

推广： n = (m+1)*r + s，先手只要第一次拿走 s，后手每次也不能拿走（m+1），那么先手只要补上就可以了；也就是说如果 n % (m+1) !=0，先手必胜；

#include <bits/stdc++.h>

using namespace std;

int main()
{
    int c;
    scanf("%d",&c);
    while(c--) {
        int n,m;
        scanf("%d%d",&n,&m);
        if(n%(m+1))
            puts("first");
        else puts("second");
    }
    return 0;
}

威佐夫博弈：http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=1527

两堆物品，每次从一堆中取，或者从两堆中取相同多的物品，谁先取完谁胜利；

分析：

面对（0,0）状态先手输了（专业名词是：奇异状态）；（1,2），（3,5）；

现在给你一个状态，看是否是先手必输状态（奇异状态）；

可以发现，两者的差值 x * 1.618 ((1+sqrt(5))/2） 黄金分割 == 较小者；

#include <bits/stdc++.h>

using namespace std;

int main()
{
    int a,b;
    while(~scanf("%d%d",&a,&b)) {

        int aa = min(a,b);
        int bb = max(a,b);

        int tmp = (bb - aa)*((1+sqrt(5))/2);
        if(tmp==aa)
            puts("0");
        else puts("1");
    }

    return 0;
}

Nim博弈：http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=1849

n 堆物品，每次从一堆物品中拿走若干个，谁先取完谁胜利；

分析：

可以通过由必输状态推其父亲结点为必胜状态得到；当然如果 n 较多，每堆物品数量很多，状态数目太多了，就不适合了；将每一堆物品异或，sum 等于  1，先手必胜；

#include <bits/stdc++.h>

using namespace std;

int main()
{
    int m;
    while(scanf("%d",&m),m) {
        int k;
        int sum = 0;
        for(int i=0;i<m;i++)
        {
            scanf("%d",&k);
            sum^=k;
        }

        if(sum)
            puts("Rabbit Win!");
        else puts("Grass Win!");

    }

    return 0;
}

SG函数：http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=1848

游戏和的SG函数等于各个子游戏SG函数的Nim和；

SG(x) = mex(S)

S：是 x 的后继状态的集合SG函数值；

mex(S) : 是不在 S 集合中的最小非负整数；

#include <bits/stdc++.h>

using namespace std;

const int maxn = 1010;

int f[maxn];
int sg[maxn];
bool vis[maxn];

int main()
{
    int m,n,p;

    f[1] = 1;
    f[2] = 2;
    for(int i=3;i<maxn;i++)
        f[i] = f[i-1] + f[i-2];

    sg[0] = 0;
    for(int i=1;i<maxn;i++) {
        memset(vis,0,sizeof(vis));

        for(int j=1;f[j]<=i;j++)
            vis[sg[i-f[j]]] = 1;

        for(int j=0;;j++)
        {
            if(!vis[j])
            {
                sg[i] = j;
                break;
            }
        }

    }


    while(scanf("%d%d%d",&m,&n,&p)) {
        if(m==0&&n==0&&p==0)
            break;
        int sum = 0;
        sum ^=sg[m];
        sum ^=sg[n];
        sum ^=sg[p];
        if(sum)
            puts("Fibo");
        else puts("Nacci");
    }
    return 0;
}