01分数规划
背景：根据楼教主回忆，曾经在一场比赛中秒掉了一道最优比例生成树问题，导致很多人跟风失败，最终悲剧。
-
什么是01分数规划呢？
这样的等式求最大，最小即为01分数规划。
如果你不知道该如何去解，你可能会去贪心，DP去做，但是这样是很复杂的。
-
解法：二分，迭代（计算几何大佬都知道这种方案，但是我不是）
-
直接二分ans， 根据符号二分转移。
例题一：pku 2796
题意： 
最大。
#include <stdio.h> #include <algorithm> using namespace std; const int maxn = 1005; int n,k; double a[maxn],b[maxn]; double c[maxn]; bool cmp(double a,double b) { return a > b; } bool calc(double x) { for(int i = 0; i < n; i++) c[i] = a[i] - x*b[i]; sort(c,c+n,cmp); double sum = 0; for(int i = 0; i < n-k; i++) sum +=c[i]; if(sum>=0) return true; return false; } int main() { //freopen("in.txt","r",stdin); while(scanf("%d%d",&n,&k),n) { for(int i = 0; i < n; i++) scanf("%lf",&a[i]); for(int i = 0; i < n; i++) scanf("%lf",&b[i]); double l = 0,r = 1; while(r-l>1e-6) { double mid = (l + r)/2; if(calc(mid)) l = mid; else r = mid; } printf("%.0lf ",l*100); } return 0; }
例题二：pku 2728 最优比例生成树
题意：给定n 个点，坐标(x,y,z)，n条无向边的图，国王将这n个点连起来（生成树），建一条边有花费， 求单位最小花费最小比例。
同理：二分这个比例，边权为 ，最小生成树 ans >= 0，说明 x过小，二分转移 l = mid；
#include <stdio.h> #include <string.h> #include <math.h> #include <vector> #include <queue> #include <map> #include <set> #include <iostream> #include <algorithm> using namespace std; const int maxn = 1005; double maps[maxn][maxn]; bool vis[maxn]; double dis[maxn]; int n; double Prim() { memset(vis,false,sizeof(vis)); for(int i = 1; i<= n; i++) dis[i] = 1000000000; double ans = 0; dis[1] = 0; for(int i = 1; i <= n; i++) { double tmp = 1000000000; int k = 0; for(int j = 1; j <= n; j++) { if(!vis[j]&&dis[j]<tmp) { tmp = dis[j]; k = j; } } vis[k] = true; ans += tmp; for(int j = 1; j<= n; j++) { if(!vis[j]&&dis[j]>maps[k][j]) dis[j] = maps[k][j]; } } return ans; } struct Node { double x,y,z; }nodes[maxn]; double dist(int i,int j,double x) { double fx = fabs(nodes[i].x-nodes[j].x); double fy = fabs(nodes[i].y-nodes[j].y); double fz = fabs(nodes[i].z-nodes[j].z); return fz - x*sqrt(fx*fx+fy*fy); } double eps = 1e-4; int main() { //freopen("in.txt","r",stdin); while(scanf("%d",&n),n) { for(int i = 1; i <= n; i++) scanf("%lf%lf%lf",&nodes[i].x,&nodes[i].y,&nodes[i].z); double l = 0,r = 1000000000; while(r-l>1e-5) { double mid = (r+l)/2; for(int i = 1; i <= n; i++) for(int j = 1; j <= n; j++) maps[i][j] = dist(i,j,mid); double ans = Prim(); if(ans<=0) r = mid; else l = mid; } printf("%.3f ",l); } return 0; }
例题三：pku 3621 最优比例环。（双倍经验题Uva 11090，题意相反）
题意：给定一个L个节点，P条有向边的图，奶牛从一个城市出发，走一个环回到起点，点上有权值，边上也有长度，求单位长度的点权最大。
分析：还是二分 ans，由于是一个环，一条边上，算起点权值就好了。改边权， ，
由于求的是比例最大，这时SPFA，应反向松弛，才能得到最大的比例。
#include <stdio.h> #include <string.h> #include <math.h> #include <string.h> #include <vector> #include <set> #include <map> #include <queue> #include <string> #include <iostream> #include <algorithm> using namespace std; const int maxn = 1005; struct Edge { int from,to; double dist; }; struct BellmanFord { int n, m; vector<Edge> edges; vector<int> G[maxn]; bool inq[maxn]; double d[maxn]; int p[maxn]; int cnt[maxn]; void init(int n) { this->n = n; for(int i = 0; i < n; i++) G[i].clear(); edges.clear(); } void AddEdge(int from, int to, double dist) { edges.push_back((Edge) { from, to, dist }); m = edges.size(); G[from].push_back(m-1); } bool negativeCycle() { queue<int> Q; memset(inq, 0, sizeof(inq)); memset(cnt, 0, sizeof(cnt)); for(int i = 0; i < n; i++) { d[i] = 0; inq[0] = true; Q.push(i); } while(!Q.empty()) { int u = Q.front(); Q.pop(); inq[u] = false; for(int i = 0; i < (int)G[u].size(); i++) { Edge& e = edges[G[u][i]]; if(d[e.to] < d[u] + e.dist) //反向松弛 { d[e.to] = d[u] + e.dist; p[e.to] = G[u][i]; if(!inq[e.to]) { Q.push(e.to); inq[e.to] = true; if(++cnt[e.to] > n) return true; } } } } return false; } }sol; int L,P; double f[maxn]; double t[maxn]; vector<Edge> edgestmp; int main() { //freopen("in.txt","r",stdin); scanf("%d%d",&L,&P); sol.init(L); for(int i = 0; i < L; i++) scanf("%lf",&f[i]); for(int i = 0; i < P; i++) { int u,v; double dist; scanf("%d%d%lf",&u,&v,&dist); u--;v--; edgestmp.push_back((Edge){u,v,dist}); sol.AddEdge(u,v,dist); } double l = 0,r = 10000; while(r-l>1e-4) { double mid = (r+l)/2; sol.init(L); for(int i = 0; i < P; i++) { int u = edgestmp[i].from; int v = edgestmp[i].to; double dist = edgestmp[i].dist; sol.AddEdge(u,v,f[u]-mid*dist); } if(sol.negativeCycle()) l = mid; else r = mid; } printf("%.2f ",l); return 0; }