ACM-ICPC (10/14)

动态规划的四个姿势

动态规划要学好，姿势一定要骚，在实战的时候，你将你的转移方程按照以下四种姿势搞一发后，一定会是耳目一新，引来萌妹子的注意~~~哈哈！！！

言归正传了！！！

之所以写动态规划优化，是因为常常在动态规划时，你会发现，就算你很轻易地定义出状态，和找到状态转移方程，但是你有可能面临时间限制。动态规划的优化，主要体现在一维上，一维已经很成熟了，也有很多专家研究这个，关于acm的动态规划优化有很多。下面展示几个常用的奇技淫巧。

• LIS ：​

​ ： 以 i 号元素为结尾的最长递增子序列长度。

​ ： 最长递增子序列长度为 i 的最小元素值。

在求 ​ 时：只要在 g 数组中二分，同时更新 g 数组。

例题一 ：

nyoj 720

分析：类比LIS，同样​ 会TLE，将状态定义稍微优化一点， 先按时间排序，​ 前 i 个元素能达到的最优值，下一个状态起始时间，就可以在前面的状态中二分到这个时间点。细节有两点，一是，排序因子，因为二分是起始时间，因此得按照右端点优先排序，二是，二分手法，应该是upper_bound。

#include <stdio.h>
#include <string.h>
#include <math.h>
#include <vector>
#include <set>
#include <map>
#include <queue>
#include <iostream>
#include <algorithm>
​
​
using namespace std;
​
const int maxn = 5005;
​
struct Node {
    int l,r,v;
    bool operator < (const Node & rhs) const {
        if(r==rhs.r) return l < rhs.l;
        return r < rhs.r;
    }
}nodes[maxn];
​
int n;
​
int d[maxn];
​
int upper_bound(int x,int y,int v) {
    int m;
    while(x<y) {
        m = x + (y-x)/2;
        if(nodes[m].r<=v) x = m+1;
        else y = m;
    }
    return x;
}
​
int main()
{
    //freopen("in.txt","r",stdin);
    while(scanf("%d",&n)!=EOF) {
        for(int i = 0; i < n; i++)
        {
            scanf("%d%d%d",&nodes[i].l,&nodes[i].r,&nodes[i].v);
        }
        sort(nodes,nodes+n);
        memset(d,0,sizeof(d));
        d[0] = nodes[0].v;
        for(int i = 1; i < n; i++) {
            d[i] = max(d[i-1],nodes[i].v);
            int k = upper_bound(0,i,nodes[i].l);
            if(k>0&&nodes[k-1].r<=nodes[i].l)
                d[i] = max(d[i],d[k-1]+nodes[i].v);
        }
        printf("%d
",d[n-1]);
​
    }
    return 0;
}
 

还记得括号匹配吗？

Google Code jam 2016 Round3 A；就是一道裸的括号匹配。成功匹配得10分，失败得5分。给定一个序列，求最大得分。因为暂时我电脑连不上Google，原题就不贴了。做法很简单，维护一个栈。

例题二： pku2559

题意：求最大子矩阵面积。

此题是三倍经验题哦，还有一个在51Nod，和一场个人赛GYM上出现过（当时有大佬用KMP搞的）；这里利用栈来做到​

分析：无非就是要快速求出一个数字作为最小值（最大值）的左右端点区间。暴力​ 实在受不了，这里利用单调栈一下子就降到​ 。

维护一个按照高度递增的单调栈，当新加入的矩形破坏了单调栈的单调性，说明一件事情，就是栈顶元素的生命周期已经结束了，他作为最小值的左右端点已经确定。

#include <stdio.h>
#include <string.h>
#include <math.h>
#include <vector>
#include <set>
#include <queue>
#include <stack>
#include <iostream>
#include <algorithm>
​
using namespace std;
​
​
const int maxn = 1e5+5;
int h[maxn];
​
int main()
{
    //freopen("in.txt","r",stdin);
    int n;
    while(scanf("%d",&n),n) {
​
        for(int i = 1; i <= n; i++) scanf("%d",&h[i]);
​
        stack<int> S;
        S.push(0);h[++n] = 0;
        long long ans = 0;
        for(int i = 1; i <= n; i++) {
            while(h[i]<h[S.top()]) {
                long long a = h[S.top()];
                S.pop();
                long long b = i - S.top() - 1;
                if(ans < a*b) ans = a*b;
            }
            S.push(i);
        }
​
        printf("%lld
",ans);
    }
    return 0;
}
 

例题三：pku 2823

题意：滑动窗口最小值（最大值）

分析：如果你想不到很好的办法，也可以直接上RMQ，​

现在，用​ 的解法~~~

维护一个单调自增的队列，同样，如果新加入的数字破坏了队列的单调性，说明队尾的数字将永远不会是这k个数字中的最小值，他已经没用了。

算法具体做法，可能我写的比较渣，大佬很好像合起来写的。

首先，将前k个数字入队列，队首元素就是最小值。

然后加入新的数字，如果破坏了单调性，弹出队尾数字，此时，又一个最小值求出来了，但是这个最小值还要检验一下，是否他还在下一个区间里面。

#include <stdio.h>
#include <string.h>
#include <math.h>
#include <vector>
#include <queue>
#include <set>
#include <map>
#include <stack>
#include <iostream>
#include <algorithm>
​
using namespace std;
​
const int maxn = 1e6+5;
int a[maxn];
​
int main()
{
    //freopen("in.txt","r",stdin);
    int n,k; cin>>n>>k;
​
    for(int i = 0; i < n; i++) scanf("%d",&a[i]);
    deque<int> minq;
    deque<int> maxq;
​
    for(int i = 0; i < k; i++) {
        while(!minq.empty()&&(a[i]<a[minq.back()]) ) {
            minq.pop_back();
        }
        while(!maxq.empty()&&(a[i]>a[maxq.back()])) {
            maxq.pop_back();
        }
        minq.push_back(i);
        maxq.push_back(i);
    }
​
    printf("%d ",a[minq.front()]);
​
    if(minq.front()==0)
        minq.pop_front();
​
    for(int i = k; i < n; i++) {
        while(!minq.empty()&&(a[i]<a[minq.back()])) {
            minq.pop_back();
        }
        minq.push_back(i);
        printf("%d ",a[minq.front()]);
        if(minq.front()<=i-k+1)
            minq.pop_front();
    }
    puts("");
​
​
    printf("%d ",a[maxq.front()]);
​
    if(maxq.front()==0)
        maxq.pop_front();
​
    for(int i = k ; i < n; i++) {
        while(!maxq.empty()&&(a[i]>a[maxq.back()])) {
            maxq.pop_back();
        }
        maxq.push_back(i);
        printf("%d ",a[maxq.front()]);
        if(maxq.front()<=i-k+1)
            maxq.pop_front();
    }
    puts("");
​
    return 0;
}

例题四：bzoj 1911

分析：很容易想到类似于LIS的转移。但是数据范围有​ ，​ 是肯定过不了的。然而，只要稍加转换，

可以发现他是一个斜率公式，然后分析，斜率是凸函数，还是凹函数，只要看符号，这里是大于号，上凸函数中间的点的斜率是不起作用的，那么你应该维护一个斜率单调递增的栈（实际操作中是队列）。

那么最优值在哪里呢？

根据斜率最大，即应该是相切处，那么这时候，你需要根据凹函数的特点了，从前往后遍历，当斜率大于右边，则到达了当前点了。然后加入此节点，也需要维护单调队列的凹函数性质。

关于斜率DP，也是每一个大佬有一种写法，主要不同点在于队列中的点个数上，我习惯于队列中必须有一个结点（有的要两个点），主要是有一个坐标原点。可以实现包含所有可选择区间。具体细节还得自己动手才能发现。

#include <stdio.h>
#include <string.h>
#include <math.h>
#include <vector>
#include <queue>
#include <string>
#include <set>
#include <map>
#include <iostream>
#include <algorithm>
​
using namespace std;
​
typedef long long ll;
const int maxn = 1e6+5;
​
long long a,b,c;
long long x[maxn];
long long sum[maxn];
long long d[maxn];
double slope(int i,int j)
{
    double up = d[i]-d[j]+a*(sum[i]*sum[i]-sum[j]*sum[j])+b*(sum[j]-sum[i]);
    double down = 2*a*(sum[i]-sum[j]);
    return up/down;
}
int l,r,q[maxn];
int n;
​
​
int main()
{
    freopen("in.txt","r",stdin);
    scanf("%d%lld%lld%lld",&n,&a,&b,&c);
​
    sum[0] = 0;
    for(int i = 1; i <= n; i++) {
        scanf("%lld",&x[i]);
        sum[i] = sum[i-1] + x[i];
    }
​
    deque<int> deq;
​
    for(int i = 1; i <= n; i++) {
​
        double xl = slope(q[l],q[l+1]);
        while(l<r&&slope(q[l],q[l+1])<sum[i]) {
            l++;
        }
        int now = q[l];
        d[i]=d[now]+a*(sum[i]-sum[now])*(sum[i]-sum[now])+b*(sum[i]-sum[now])+c;
        while(l<r&&slope(q[r-1],q[r])>slope(q[r],i)) r--;
        q[++r] = i;
​
    }
​
    printf("%lld
",d[n]);
​
​
    return 0;
}

到这里DP优化已经聊的差不多了。其实你会发现我都是1D/1D方程，而实战中也有很多2D/0D方程，比如LCS。

但是他们的优化思路，是还有待大牛研究的课题。