LXXIX.[AGC013D] Piling Up
一个很naive的思路就是设\(f[i][j]\)表示当前进行了\(i\)步，并且盒子中剩下了\(j\)个白球的方案数，然后直接DP即可。
但是这样是有问题的——它没有考虑到重复计算的问题。
我们不妨令\(+\)符号表示取出黑球，\(-\)符号表示取出白球。
则一种方式是\(6\xrightarrow{+-}6\xrightarrow{--}5\)，其中数字表示剩余白球数。
另一种方式是\(4\xrightarrow{+-}4\xrightarrow{--}3\)。很明显，两者即使盒中球数不同，但是序列是相同的。
为了避免重复计算，我们可以强制要求只有过程中出现过\(0\)的序列才是合法序列。
于是我们可以设\(f[i][j][0/1]\)表示进行\(i\)步，盒子中剩下\(j\)个白球，且（没有/有）到过\(0\)的方案数。则答案即为\(\sum\limits_{i=0}^nf[m][i][1]\)。
要注意的是，这里的转移过程必须保证任意时刻球的数量必须在\([0,n]\)范围之内，因此对于不合法的状态要记得特判掉。
复杂度\(O(nm)\)。
代码：
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int mod=1e9+7;
int n,m,f[3010][3010][2],res;//0: haven't reached 0; 1:have reached 0
int main(){
scanf("%d%d",&n,&m);
for(int i=0;i<=n;i++)f[0][i][i==0]=1;
for(int i=0;i<m;i++)for(int j=0;j<=n;j++){
if(j)(f[i+1][j][j==1]+=f[i][j][0])%=mod,(f[i+1][j][1]+=f[i][j][1])%=mod;//-+
if(j)(f[i+1][j-1][j==1]+=f[i][j][0])%=mod,(f[i+1][j-1][1]+=f[i][j][1])%=mod;//--;
if(j<n)(f[i+1][j][0]+=f[i][j][0])%=mod,(f[i+1][j][1]+=f[i][j][1])%=mod;//+-;
if(j<n)(f[i+1][j+1][0]+=f[i][j][0])%=mod,(f[i+1][j+1][1]+=f[i][j][1])%=mod;//++;
}
for(int i=0;i<=n;i++)(res+=f[m][i][1])%=mod;
printf("%d\n",res);
return 0;
}