斯特林数
第一类斯特林数
[egin{bmatrix}n\mend{bmatrix}=(n-1)egin{bmatrix}n-1\mend{bmatrix}+egin{bmatrix}n-1\m-1end{bmatrix}
]
第一类斯特林数(egin{bmatrix}n\kend{bmatrix})可以表现为生成函数
[prod_{i=0}^{n-1}(x+i)
]
这个生成函数的第(k)项即(egin{bmatrix}n\kend{bmatrix})
如果是有符号第一类斯特林数，那么其生成函数是
[prod_{i=0}^{n-1}(x-i)
]
那么我们就可以用分治FFT快速算出(egin{bmatrix}n\kend{bmatrix}(1le kle n))
第二类斯特林数
[egin{Bmatrix}n\mend{Bmatrix}=megin{Bmatrix}n-1\mend{Bmatrix}+egin{Bmatrix}n-1\m-1end{Bmatrix}
]
由容斥原理
[egin{Bmatrix}n\mend{Bmatrix}=frac{1}{m!}sum_{i=0}^m(-1)^iinom{m}{i}(m-i)^n
]
再化一下
[egin{Bmatrix}n\mend{Bmatrix}=sum_{i=0}^mfrac{(-1)^i}{i!}frac{(m-i)^n}{(m-i)!}
]
这是一个卷积的形式，可以FFT快速算出(egin{Bmatrix}n\kend{Bmatrix}(1le kle n))
对原式二项式反演可得
[m^n=sum_{i=0}^minom{m}{i}egin{Bmatrix}n\iend{Bmatrix}i!
]
等价于
[m^n=sum_{i=0}^ninom{m}{i}egin{Bmatrix}n\iend{Bmatrix}i!
]
这两个式子可以用于化一些其它的式子。。。