AGC001做题小记

E. BBQ Hard

题意

给定 $ n $ 和数组 $ A $ , $ B $ ， 求:

[sum_{i≠j}dbinom{A_i+A_j+B_i+B_j}{A_i+A_j} ]

$ n ≤ 200000 $ , $ A[i], B[i] ≤ 2000 $

题解

亮点在于模型转化。

考虑坐标平面上的 $ n $ 个点 $ (A_i, B_i) $ , $ dbinom{A_i+A_j+B_i+B_j}{A_i+A_j} $ 就是从 $ (-A_i, -B_i) $ 走到 $ (A_j, B_j) $ 的方案数。

求和的话只是可以有多个起点而已。DP即可。

注意要去掉 $ (-A_i, -B_i) $ 走到 $ (A_i, B_i) $ 的贡献。

代码

F. Wide Swap

题意

给定 $ 1 $ ~ $ n $ 的一个排列 $ p $ 和整数 $ K $ ， 每次可以选择两个数 $ i $ , $ j $ 满足 $ j - i ≥ K $ 且 $ abs(p_i - p_j) = 1 $ , 然后交换 $ p_i $ , $ p_j $ 。

问最小可以得到的字典序。

n ≤ 500000

题解

$ j - i >= K $ 这个限制非常难处理。所以我们转而在 $ p $ 的逆上进行操作。

令 $ q_{p_i} = i $ , 交换的限制就变成了：选择两个绝对值差大于 $ K $ 的相邻数。

注意到 $ q $ 字典序最小等价于 $ p $ 字典序最小。而如果两个数绝对值差小于 $ K $ ，他们的相对顺序不可能改变。

对这样的限制连边，就变成了求字典序最小的拓扑序列。

但是这样连出的边数是 $ O(n ^ 2) $ 的。考虑对它进行优化。

数 $ x $ 只会向 $ (x - K, x) $ 和 $ (x, x + K) $ 这两段区间连边。而每段区间只需连这段区间中已经出现过且下标最小的数即可，线段树维护一下。

最后别忘记再还原到 $ p $ 数组

代码