最短路算法总结

• 参考文章1

单源最短路

顾名思义就是寻找一个源点到其它的点的最短路，暴力的dfs或者bfs就不说了，下面讲讲几种单源最短路的算法。

• SPFA（shortest path fast algorithm）

这个算法的实质就是利用bfs，我们先将源点到源点的距离设置为0，到其它的距离设置为无穷大（一般0x7fffffff），然后将源点加入队列，用队首的点去bfs，更新它能到达且能更新的的点，然后将未进入队列的点加入队列以备后续更新使用，然后将已经出队的点标记消掉，不断这样进行这个操作（这个也就是松弛操作），最后无法再更新任何一个点时，队列为空，最短路也就找完了，理论复杂度为O(kn)$O(kn)$，k$k$为进队次数，一般k≤$k\le$常数。

这个算法在一般的图和随机图上面运行效果良好，但是在一些精心构造的图上面就会卡到复杂度上限O(nm)$O(nm)$（每个点进队m次）。

下面介绍另一种算法。

• Dijistra

这个算法同样是用bfs，每次找到距离源点最近的且未被用过的点，然后拿它去更新其它点，而这个点以后再也不会被更新到（除非有负环，那么普通的Dijistra就无法使用），这样每个点只会用来更新一次其它点，每次寻找最近的点暴力复杂度为O(n)$O(n)$，然后更新的复杂度为它的度数（一般看作常数，除非菊花图），所以复杂度总的来说为O(n2)$O(n^2)$。

• Dijistra+堆优化

我们发现上述的算法中，有一个寻找最近点的O(n)$O(n)$，可以拿一个数据结构维护，将O(n)$O(n)$降到O(logn)$O(logn)$，那么维护最小值我们可以简单的使用堆（自己手打或者STL的优先队列），那么该算法就被优化到了O(nlogn)$O(nlogn)$，虽然一般图和随机图跑的没有SFPA快，但是在精心构造的图上面，它复杂度的优秀性就体现出来了。（NOI2018的day1T1可以说明）

多源最短路

多源最短路，就是求图上的每一个点到其它点的最短距离，朴素简单的想法就是跑n$n$遍单源最短路算法，但是这里还有其它的算法可以解决这个问题。

• Floyd

这个算法实质上是利用了动态规划，DP的思想，我们定义如下状态f[i][j]$f[i][j]$，表示i⇒j$i\Rightarrow j$的最短路长度，然后我们枚举一个中转点k$k$，用它去不断更新其它情况，转移方程为f[i][j]=min(f[i][j],f[i][k]+f[k][j])$f[i][j]=min(f[i][j],f[i][k]+f[k][j])$。这样n3$n^3$就可以求出多源最短路。（其实似乎跑n$n$边Dijistra+堆优化好像才O(n2logn)$O(n^{2}logn)$的复杂度，不过Floyd的常数明显较小）。

这个算法还有个用途，其实从它的转移上都可以看出，我们可以求必须经过某个点的多源最短路，这时就不用枚举中转点，而是已知中转点，然后去更新答案，复杂度为O(n2)$O(n^2)$。

次短路算法

A-star（A*）启发式搜索算法，原理是dfs时利用一个估计函数来剪枝。

---

后面待更新完善……