数值计算：计算机精度

数值计算：计算机精度

机器数

由于计算机的储存空间有限，所以对于一个实数，有时候存储的只是它的近似值

其中为尾数，是个有限位数二进制数，其大小为，整数称为阶码。当一个实数的位数过多，其便会被舍去一部分精度

计算机浮点数

在以32位表示单精度实数的计算机中，阶码用8位表示，位数用24位表示，其表示的范围为到，有6位的十进制精度值

对于64位表示的双精度值，用11位表示阶码，用53位表示尾数，其表示的范围为到，有16位的十进制精度值

计算误差

在计算机的计算过程中，由于本身的存储的数值可能只是是近似值，而且中间结果可能会有舍入，导致误差不断地增大，例如我们计算n个0.1相加的和（n=10, 100, 1000, ...）,代码如下：

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;

int main(){
    int n = 1;
    for(int j = 0; j < 9; j++){
        n = n * 10;
        float ans = 0;
        for(int i = 0; i < n; i++){
            ans += (1 / 10.0);
        }
        printf("n= %d
ans= %f
", n, ans);
    }

    system("pause");
}

结果为

n	计算结果	正确结果
10	1.000000	1
100	10.000002	10
1000	99.999046	100
10000	999.902893	1000
100000	9998.556641	10000
1000000	100958.343750	100000
10000000	1087937.000000	1000000
100000000	2097152.000000	10000000
1000000000	2097152.000000	100000000

在计算过程中由于中间的结果不断被舍入，所以误差越来越大，到了最后由于0.1相对于中间结果来说太小了，所以加数0.1也被省略了，以至于到了最后即使n增大， 计算结果也是不变的。