线性筛

前言：

按 $GrayGoods$ 大佬所说的，所有积性函数都可以线筛

所以在这里我只给出质数，欧拉函数和莫比乌斯函数的筛法（逃~~~）

正文：

质数

筛质数好像有很多种方法，这里只介绍两种

第一种是埃筛暴力筛

这种筛法的优点是只需开一个 $bool$ 数组

但复杂度是 $O(nloglogn)$ 的

代码还是比较好理解的

bool is_prime[maxn];

void check_prime(int n)
{
    for(int i=2;i<=n;i++)
        is_prime[i]=1;
    for(int i=0;i<=n;i++)
    {
        if(is_prime[i]==1)
        {
            for(int j=2;j*i<=n;j++)
                is_prime[i*j]=0;
        }
    }  
}

另一种是欧拉筛，也就我们所说的线筛

这种筛法的优点是严格 $O(n)$ 的时间复杂度

但是要另开一个数组记录所有的质数

int cnt,prime[maxn];
bool not_prime[maxn];

void check_prime(int n)
{
    not_prime[1]=1;
    for(int i=2;i<=n;i++)
    {
        if(!not_prime[i]) prime[++cnt]=i;
        for(int j=1;j<=cnt&&i*prime[j]<=n;j++)
        {
            not_prime[i*prime[j]]=1;
            if(i%prime[j]==0) break;//保证每个数只被它最小的质因子筛去
        }
    }
}

欧拉函数

欧拉函数的定义 $φ(n)$ 表示的是比 $n$ 小的与 $n$ 互质的正整数的个数，特别的 $φ(1)=1$

有一个很显然的性质是如果 $n$ 是一个质数，那么 $φ(n)=n-1$

同时作为一个积性函数，$φ(n imes m)=φ(n) imes φ(m)$ ，当且仅当 $gcd(n,m)=1$

所以当 $i mod prime[j] eq 0$ 即 $gcd(i,prime[j])=1$ 时

$φ(i imes prime[j])=φ(i) imes φ(prime[j])$

而当 $i mod prime[j]=0$ 时

我们可以知道 $i$ 中包含了 $n=i*prime[j]$ 的所有因子

根据欧拉函数的另一个性质（$cnt$ 为因子个数）

我们有 $φ(n)=n imes prod_{k=1}^{cnt} dfrac{p_k-1}{p_k}$

所以 $φ(n)=prime[j] imes i imes prod_{k=1}^{cnt} dfrac{p_k-1}{p_k}$

所以 $φ(n)=prime[j] imes φ(i)$

这样我们就可以得到

$φ(i*prime[j])=φ(i)*prime[j]$

然后稍微魔改一下欧拉筛，就可以线性筛出欧拉函数

int phi[maxn];
int cnt,prime[maxn];
bool not_prime[maxn];

void check_phi(int n)
{
    phi[1]=1;
    not_prime[1]=1;
    for(int i=2;i<=n;i++)
    {
        if(!not_prime[i])
        {
            phi[i]=i-1;
            prime[++cnt]=i;
        }
        for(int j=1;j<=cnt&&i*prime[j]<=n;j++)
        {
            not_prime[i*prime[j]]=1;
            if(i%prime[j]==0)
            {
                phi[i*prime[j]]=phi[i]*prime[j];
                break;
            }
            else phi[i*prime[j]]=phi[i]*phi[prime[j]];
        }
    }
}

莫比乌斯函数

关于莫比乌斯函数 $μ(n)$ 的定义

$(1)$ $μ(1)=1$

$(2)$ 当 $n$ 存在平方因子时 $μ(n)=0$

$(3)$ 当 $n$ 是质数或奇数个不同质数之积时 $μ(n)=-1$

$(4)$ 当 $n$ 是偶数个不同质数之积时 $μ(n)=1$

写成表达式的形式就是

$μ(n)=egin{cases}  quad 1 quad quad quad ;;; n=1 \  (-1)^k  quad n=p_1p_2cdots p_k\ quad 0 quad quad quad; ; others end{cases}$

同样的，它也是一个积性函数

$μ(n imes m)=μ(n) imes μ(m)$ ，当且仅当 $gcd(n,m)=1$

所以当 $i mod prime[j] eq 0$ 即 $gcd(i,prime[j])=1$ 时

$μ(i imes prime[j])=μ(i) imes μ(prime[j])$

而 $μ(prime[j])=-1$ ，所以我们可以直接写成

$μ(i imes prime[j])=-μ(i)$

这样又可以愉快地魔改欧拉筛了

int miu[maxn];
int cnt,prime[maxn];
bool not_prime[maxn];

void check_miu(int n)
{
    miu[1]=1;
    not_prime[1]=1;
    for(int i=2;i<=n;i++)
    {
        if(!not_prime[i])
        {
            miu[i]=-1;
            prime[++cnt]=i;
        }
        for(int j=1;j<=cnt&&i*prime[j]<=n;j++)
        {
            not_prime[i*prime[j]]=1;
            if(i%prime[j]==0)
            {
                miu[i*prime[j]]=0;
                break;
            }
            else miu[i*prime[j]]=-miu[i];
        }
    }
}

后序：

个人感觉筛 $φ$ 和筛 $μ$ 的方式差不多

都是在欧拉筛的基础上，根据积性函数的性质魔改了一下

$ps:$ 现在你会线筛 $μ$ 了，你可以做莫反的题了（逃~~~）